matlab - 如何在伽罗瓦域中找到矩阵的行秩？

Question

Matlab 有一个内置函数，用于计算具有十进制数和有限域数的矩阵的秩。但是，如果我没记错的话，他们只计算最低排名（行排名和列排名最低）。我只想计算行秩，即找到矩阵的独立行数（在我的例子中是有限字段）。有没有功能或方法可以做到这一点？

Answer 1

在线性代数中，列秩和行秩总是相等的（见证明），所以只需使用 （如果你正在计算伽罗瓦域上的矩阵的秩，请考虑使用，就像@DanBecker 在他的评论中建议的那样）：rank
gfrank

例子：

>> A = [1 2 3; 4 5 6]

A =
    1   2   3
    4   5   6

>> rank(A)
ans =
    2

也许所有三列似乎都是线性独立的，但它们是相互依赖的：

[1 2; 4 5] \ [3; 6]
ans =
    -1
     2

意思是-1 * [1; 4] + 2 * [2; 5] = [3; 6]

Answer 2

施瓦茨，

两条评论：

1. 您在评论中声明“等级函数在伽罗瓦域中也可以正常工作！” 我不认为这是正确的。考虑文档页面上给出的示例gfrank：

   A = [1 0 1;
      2 1 0;
      0 1 1];
   gfrank(A,3) % gives answer 2
   rank(A) % gives answer 3
   

   但有可能我误解了一些事情！

2. 您还说“如何检查矩阵的行是否线性独立？我在上面发布的解决方案对您来说是否合法，即获取每一行并逐一查找其与所有其他行的排名？”

   我不知道你为什么说“一一找到它与所有其他行的排名”。可以有一组成对线性独立但线性相关的向量作为一个组。只需考虑向量[0 1], [1 0], [1 1]。没有向量是任何其他向量的倍数，但集合不是线性独立的。

   你的问题似乎是你有一组你知道是线性独立的向量。您向该集合添加一个向量，并想知道新集合是否仍然线性独立。正如@EitanT 所说，您需要做的就是将（行）向量组合成一个矩阵并检查它的rank（或gfrank）是否等于行数。无需“一个接一个”地做任何事情。

   既然您知道“旧”集是线性独立的，也许有一个很好的快速算法来检查新向量是否使事物线性相关。也许在每一步你都会正交化集合，也许这会使给定新向量的线性独立性检查过程更快。这可能会在诸如 mathoverflow 之类的地方提出一个有趣的问题。