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我遇到了一个常见的编程面试问题：给定一个无符号整数列表，找到一个在列表中出现奇数次的整数。例如，如果给定列表：

{2,3,5,2,5,5,3}

解决方案将是整数 5，因为它在列表中出现 3 次，而其他整数出现偶数次。

我最初的解决方案涉及设置一个排序数组，然后遍历数组：对于每个奇数元素，我将添加整数，而对于每个偶数元素，我将减去；最后的总和是解决方案，因为其他整数会抵消。

但是，我发现通过简单地对每个元素执行 XOR 来实现更有效的解决方案——您甚至不需要排序数组！也就是说：

2^3^5^2^5^5^3 = 5

我从离散结构类中回忆起，关联属性适用于 XOR 操作，这就是该解决方案有效的原因：

a^a = 0

和：

a^a^a = a

虽然我记得 Associative Property 适用于 XOR，但我很难找到 XOR 特定属性的逻辑证明（互联网上的大多数逻辑证明似乎更侧重于 AND 和 OR 操作）。有谁知道为什么关联属性适用于 XOR 操作？

我怀疑它涉及包含 AND 和/或 OR 的 XOR 身份。

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关联属性表示(a^b)^c = a^(b^c)。由于 XOR 是按位的（数字中的位被并行处理），我们只需要考虑单个位的 XOR。然后可以通过检查所有可能性来完成证明：

abc (a^b) (a^b)^c (b^c) a^(b^c)
000   0      0      0      0
001   0      1      1      1
010   1      1      1      1
011   1      0      0      0
100   1      1      0      1
101   1      0      1      0
110   0      0      1      0
111   0      1      0      1

由于第三列 ，(a^b)^c与第五列 ， 相同a^(b^c)，因此关联属性成立。

于 2012-11-07T14:11:04.033 回答
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只要a ^ b == ~a & b | a & ~b，你可以证明：

(a ^ b) ^ c = ~((~a & b) | (a & ~b)) & c | ((~a & b) | (a & ~b)) & ~c

和

a ^ (b ^ c) = a & ~((~b & c) | (b & ~c)) | ~a & ((~b & c) | (b & ~c))

是平等的。

于 2012-11-07T14:36:50.097 回答