dynamic - 矩阵优化中的所有最小值

Question

我有一个nxn带有正整数的矩阵。我必须计算每个元素的成本。

Cost(i, j) = min( val(p, r) + dist(pos(i, j) ,pos(p, r)) ), p, r = 0:n-1.

dist(pos(i, j) ,pos(p, r)) = |i - p| + |j – r|（距离曼哈顿）

我在 O(n^4) 中解决了这个问题，如下所示：

for(int i = 0 ; i < n ; i ++)

  for(int j = 0 ; j < n ; j ++) {
    int cost = 9999999;

    for(p = 0 ; p < n ; p ++) {

      for(r = 0 ; r < n ; r ++) {

        if( val[p][r] + abs(i-p) + abs(j-r)) < cost {

           cost = val[p][r] + abs(i-p) + abs(j-r);

        }

       }

     }

}

现在，我需要 O(n^2) 的最优解。我知道这是可能的，而且我听说解决方案是动态编程，但我看不出这怎么可能。

Answer 1

我在 n^2 中解决了。这个想法是在行（左右和左右）和列（上下和上下）上进行迭代。

无效排序（int **v）{

//在线

for(int i = 0 ; i < n ; i ++) {

//left to right
for(int j = 1 ; j < n ; j ++) {
  if(v[i][j-1] + 1 < v[i][j])
    v[i][j] = 1 + v[i][j-1];
}
//right to left
for(int j = n-2 ; j >= 0 ; j --) {
  if(v[i][j+1] + 1 < v[i][j])
    v[i][j] = 1 + v[i][j+1];
}

}

//在列上

for(int j = 0 ; j < n ; j ++) {

//up to down
for(int i = 1 ; i < n ; i ++) {
  if(v[i-1][j] + 1 < v[i][j])
    v[i][j] = 1 + v[i-1][j];
}
//down to up
for(int i = n-2 ; i >= 0 ; i --) {
  if(v[i+1][j] +1 <v[i][j])
    v[i][j] = 1 + v[i+1][j];
}

} }