random - 生成 3 个总和为 0 的均匀随机变量

Question

我想生成三个随机变量 a、b 和 c 使得 (i) a+b+c=0; (ii) 每个都均匀分布在 (-1,1) 中。

双变量版本很简单：a=2*rand()-1; b=-a。（注：rand() 均匀分布在 (0,1) 中）

以下解决方案不起作用，因为 c 的范围太大：a=2*rand()-1; b=2*rand()-1; c=-ab。

以下解决方案也不起作用，因为 c 不是均匀分布的： a=2*rand()-1; b=2*rand()-1; c=(-ab)/2。

Answer 1

在我们知道您的要求是否可能之前，您可能会对稍微不同的问题的答案感兴趣：

是否有可能拥有三个均匀分布的变量 a、b、c，使得它们总和为零？

答案是肯定的：例如，您采用三个均匀分布的变量 a0,b0,c0 和 s=a0+b0+c0 您可以得到 a=a0-s/3, b=b0-s/3 和 c=c0- s/3 具有所需的属性。如果您从a0,b0,c0 = 1.5*rand()-0.75结果 a,b,c 开始，将在 [-1,1] 中，a,b,c 的分布将约为。看起来像这样：

现在，如果您希望 a,b,c 更接近 [-1,1] 上的均匀分布，您可以尝试类似a0,b0,c0 = 0.75*(2*rand()-1)^(1/3)的方法，它会为 a,b,c 产生类似于以下的分布：

Answer 2

它们会均匀分布吗？

我会说投掷 3 个骰子，但预期值是 10.5，这永远不会发生，所以我要说投掷 3 个仅从 1 到 5 的特殊骰子，它们的总和必须为 9。

可能的组合是：

• 1,3,5 (*6)
• 1,4,4 (*3)
• 2,2,5 (*3)
• 2,3,4 (*6)
• 3,3,3 (*1)

1,3,5和2,3,4的组合有6种，1,4,4和2,25的组合有3种，3,3,3的组合只有一种。这是 19 种可能的组合（在 125 种可能的场景中）。

在这些中，我们得到这些骰子被掷出的次数。（请记住，在 2、2、5 中，每 2 计算 3*，因此是 2 的 6 卷）。

• 1：9
• 2 : 12
• 3 : 15
• 4 : 12
• 5 : 9

因此，虽然原始分布是均匀的，但一旦你加入约束，你就会发现它不再是均匀的。（请注意，这些数字加到 57 以作为确认，19 种不同的组合，每种组合 3 次投掷）。

Answer 3

吴，你是对的，有一个解决办法。这里是建筑。生成 a = 2*rand()-1。现在如果 a < 0，则令 b = a + 1。否则，令 b = a - 1。最后，令 c = -(a+b)。

不难证明 a、b 和 c 在 [-1,1] 上均匀分布。有趣的是，解决方案是对称的，因为所有三个成对相关都是 -1/2。它只需要一次调用随机生成器。