math - 计算联合分布的一部分的概率

Question

考虑到我有两个独立的正态随机变量的连续联合分布（假设独立变量在 X 和 Z 轴上，而依赖变量 - 联合概率 - 在 Y 轴上），并且我在任意位置都有一条线XZ 平面，我将如何计算一个点落在该线的一侧或另一侧的概率？

Answer 1

首先移动一切，使两个正态分布（X 和 Z）以零为中心；现在联合分布将是一个以原点为中心的小山。

现在缩放其中一个轴，使两个分布具有相同的方差（或“宽度”）。现在联合概率应该是一个旋转对称的山。

现在重要的是这条线离原点有多近。围绕原点旋转（这将使联合概率保持不变）直到线平行于轴之一，例如 Z。现在您要询问随机点的 X 大于或小于 X 值的概率的线。这是由比例分布函数之一确定的（它们是相同的），并且可以通过误差函数来计算。

如果有用的话，我可以把数学写出来。

编辑：我会尝试写出最后一步。请原谅我粗糙的 ascii，我无法使用好的数学平板电脑。

假设我们对分布进行了缩放和居中，使得 sigmaX = sigmaZ = 1，并旋转了所有内容：

联合概率：P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2)

行：x = c

现在要找出随机点位于某个 x 和 x+dx 之间的狭窄“垂直”条带上的概率：

P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)}
       = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)

但这与两个正态分布中的一个相同。因此，随机点位于直线左侧的概率是

P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)}
       = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))