linear-algebra - 找到具有不同方向的任何向量的最简单方法

Question

获取输入向量（给定为 (x,y,z)）并找到一些与它不同方向的新向量的最简单方法是什么？任何方向都可以，它必须是与输入不同的方向（除了完全相反的方向，这是微不足道的）。

似乎应该有一个不涉及分支的简单解决方案，但我似乎找不到一个，但经过一番之后，我很想知道是否真的有一个。

Answer 1

我不确定这有多简单，但假设 (x,y,z) 的长度为 L（不是 0），下面的向量长度为​​ 1 并且与 (x,y,z) 成直角

-y * (x + sign(x)*L) / (L*(L+|x|))
1 - y * y / (L*(L+|x|))
-y * z / (L*(L+|x|))

（这里 |x| 是 x 的绝对值，如果 x<0，sign(x) 为 -1，如果 x >= 0，则为 1）

我通过计算将 (x,y,z) 映射到 (1,0,0) 的倍数的户主反射（例如http://en.wikipedia.org/wiki/Householder_transformation ）推导出这个公式 ，然后计算图像在这个矩阵下的（0,1,0）；由于矩阵既是正交的又是对称的，这个向量将与 (x,y,z) 正交。

没有连续函数 (x,y,z) -> (x',y',z') (for (x,y,z) != (0,0,0)) 使得 (x',y ',z') 绝不是 (x,y,z) 的倍数；如果有，您可以从 (x',y',z') 中删除其在 (x,y,z) 方向上的分量，从而获得连续映射 (x,y,z)->(x'',y '',z'') 其中 (x'',y'',z'') 与 (x,y,z) 成直角，但根据毛球定理，你不能。

在上面的公式中，不连续符号函数的出现使得公式不连续。请注意，符号不必涉及分支；在某些语言中，有一个内置函数可以做到这一点；在 C 中你可以使用 2*(x>=0)-1。