matrix - 确定变换矩阵

Question

作为我之前关于确定相机参数的问题的后续，我提出了一个新问题。

我有两张相同矩形的图片：

第一个是没有任何转换的图像，并按原样显示矩形。

第二张图片显示了应用了一些 3d 变换（XYZ 旋转、缩放、XY 平移）后的矩形。这导致矩形看起来像梯形。

我希望下面的图片能描述我的问题：

如何确定哪些转换（更具体地说：什么转换矩阵）导致了这种转换？

我知道两个图像中角落的像素位置，因此我也知道角落之间的距离。

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我很困惑。这是 2d 还是 3d 问题？

我理解它的方式是，您在 3d 空间中嵌入了一个平面矩形，并且您正在查看它的两张 2d“图片”——一张是原始版本，一张是基于转换版本的。它是否正确？

如果这是正确的，那么没有足够的信息来解决问题。例如，假设两张图片看起来完全一样。这可能是因为平移是身份，也可能是因为平移将矩形移动到距相机两倍远的位置，并将其大小加倍（从而使其看起来完全相同）。

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这是一道数学题，不是编程题。。

你需要定义一组方程（你的变换矩阵，我猜是 3 个方程），然后求解角点的 4 个变换。

我只用德语描述过这个......所以上面听起来很奇怪..

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根据您掌握的信息，这并不容易。不过，我会给你一些想法。如果你有角落的 3D 坐标，你会更轻松。这是基本的想法。

将角移动到原点。此后，将围绕原点进行旋转。
确定轴的向量。通过从原点减去相邻的角来做到这一点。这些将是您世界的本地 x 和 y 轴。
使用向量确定角度。您可以使用点积和叉积来确定局部 x 轴和全局 x 轴 (1, 0, 0) 之间的角度。
按步骤 3 中的角度旋转。这将为您提供一个新的 x 轴，该轴应与全局 x 轴和新的局部 y 轴匹配。然后，您可以确定另一个围绕 x 轴的旋转，这将使 y 轴与全局 y 轴对齐。

如果没有z坐标，你可以看到这会很困难，但这是一般的过程。我希望这有帮助。

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正如 Alex319 指出的那样，解决方案不会是唯一的。

如果第二张图像真的像你说的那样是梯形，那么这不会太难。因为透视是梯形（不是平行四边形），所以一定是等腰梯形。

画两条对角线。它们在矩形的中心相交，因此可以处理平移。

旋转梯形，直到其平行边与原始矩形的两侧平行。（哪两个？没关系。）

通过中心绘制第三条平行线。将此缩放到您选择的矩形的侧面。

现在旋转出平面。测量从中心到平行边之一的距离，并使用正弦定律。

如果不是梯形，只是四边形，那就更难了，你必须使用对角线之间的角度来找到旋转轴。

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