c++ - 使用 FFT (FFTW) 计算两个函数的卷积

Question

我正在尝试使用 FFT 加速神经模拟器的计算。

方程是：

(1) \sum(j=1 to N) (w(i - j) * s_NMDA[j])

其中 s_NMDA 是长度为 N 的向量，w 定义为：

(2) w(j) = tanh[1/(2 * sigma * p)] * exp(-abs(j) / (sigma * p)]

其中 sigma 和 p 是常数。

（有没有更好的方法在stackoverflow上渲染方程？）

必须对 N 个神经元进行计算。由于 (1) 仅取决于绝对距离 abs(i - j)，因此应该可以使用 FFT（卷积定理）进行计算。

我尝试使用 FFTW 来实现这一点，但结果与预期结果不匹配。我以前从未使用过 FFTW，现在我不确定我的实现是否不正确，我对卷积定理的假设是否错误。

void f_I_NMDA_FFT(
    const double     **states, // states[i][6] == s_NMDA[i]
    const unsigned int numNeurons)
{
    fftw_complex *distances, *sNMDAs, *convolution;
    fftw_complex *distances_f, *sNMDAs_f, *convolution_f;
    fftw_plan     p, pinv;
    const double scale = 1./numNeurons;

        distances = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        sNMDAs    = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        convolution = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        distances_f = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        sNMDAs_f    = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);
        convolution_f    = (fftw_complex *)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * numNeurons);

        // fill input array for distances  
    for (unsigned int i = 0; i < numNeurons; ++i)
    {
        distances[i][0] = w(i);
        distances[i][1] = 0;
    }

        // fill input array for sNMDAs
    for (unsigned int i = 0; i < numNeurons; ++i)
    {
        sNMDAs[i][0] = states[i][6];
        sNMDAs[i][1] = 0;
    }

    p = fftw_plan_dft_1d(numNeurons,
                         distances,
                         distances_f,
                         FFTW_FORWARD,
                         FFTW_ESTIMATE);
    fftw_execute(p);

    p = fftw_plan_dft_1d(numNeurons,
                         sNMDAs,
                         sNMDAs_f,
                         FFTW_FORWARD,
                         FFTW_ESTIMATE);
    fftw_execute(p);

    // convolution in frequency domain
    for(unsigned int i = 0; i < numNeurons; ++i)
    {
        convolution_f[i][0] = (distances_f[i][0] * sNMDAs_f[i][0]
            - distances_f[i][1] * sNMDAs_f[i][1]) * scale;
        convolution_f[i][1] = (distances_f[i][0] * sNMDAs_f[i][1]
            - distances_f[i][1] * sNMDAs_f[i][0]) * scale;
    }

    pinv = fftw_plan_dft_1d(numNeurons,
                            convolution_f,
                            convolution,
                            FFTW_FORWARD,
                            FFTW_ESTIMATE);
    fftw_execute(pinv);

    // compute and compare with expected result
    for (unsigned int i = 0; i < numNeurons; ++i)
    {
            double expected = 0;

            for (int j = 0; j < numNeurons; ++j)
            {
                expected += w(i - j) * states[j][6];
            }
            printf("i=%d, FFT: r%f, i%f : Expected: %f\n", i, convolution[i][0], convolution[i][1], expected);
    }

    fftw_destroy_plan(p);
    fftw_destroy_plan(pinv);

    fftw_free(distances), fftw_free(sNMDAs), fftw_free(convolution);
    fftw_free(distances_f), fftw_free(sNMDAs_f), fftw_free(convolution_f);

这是 20 个神经元的示例输出：

i=0, FFT: r0.042309, i0.000000 : Expected: 0.041504
i=1, FFT: r0.042389, i0.000000 : Expected: 0.042639
i=2, FFT: r0.042466, i0.000000 : Expected: 0.043633
i=3, FFT: r0.042543, i0.000000 : Expected: 0.044487
i=4, FFT: r0.041940, i0.000000 : Expected: 0.045203
i=5, FFT: r0.041334, i0.000000 : Expected: 0.045963
i=6, FFT: r0.041405, i0.000000 : Expected: 0.046585
i=7, FFT: r0.041472, i0.000000 : Expected: 0.047070
i=8, FFT: r0.041537, i0.000000 : Expected: 0.047419
i=9, FFT: r0.041600, i0.000000 : Expected: 0.047631
i=10, FFT: r0.041660, i0.000000 : Expected: 0.047708
i=11, FFT: r0.041717, i0.000000 : Expected: 0.047649
i=12, FFT: r0.041773, i0.000000 : Expected: 0.047454
i=13, FFT: r0.041826, i0.000000 : Expected: 0.047123
i=14, FFT: r0.041877, i0.000000 : Expected: 0.046656
i=15, FFT: r0.041926, i0.000000 : Expected: 0.046052
i=16, FFT: r0.041294, i0.000000 : Expected: 0.045310
i=17, FFT: r0.042059, i0.000000 : Expected: 0.044430
i=18, FFT: r0.042144, i0.000000 : Expected: 0.043412
i=19, FFT: r0.042228, i0.000000 : Expected: 0.042253

结果似乎几乎是正确的，但误差随着神经元数量的增加而增加。此外，对于非常低或非常高的位置 (i)，结果似乎更准确。这里发生了什么？

更新：正如 Oli Charlesworth 所建议的，我在 octave 中实现了算法，看看它是实现还是数学问题：

input = [0.186775; 0.186775; 0.186775; 0.186775; 0.186775; 0; 0.186775; 0.186775; 0.186775; 0.186775];

function ret = _w(i)
  ret = tanh(1 / (2* 1 * 32)) * exp(-abs(i) / (1 * 32));
end

for i = linspace(1, 10, 10)
  expected = 0;
  for j = linspace(1, 10, 10)
    expected += _w(i-j) * input(j);
  end
  expected
end

distances = _w(transpose(linspace(0, 9, 10)));

input_f = fft(input);
distances_f = fft(distances);

convolution_f = input_f .* distances_f;

convolution = ifft(convolution_f)

结果：

expected =  0.022959
expected =  0.023506
expected =  0.023893
expected =  0.024121
expected =  0.024190
expected =  0.024100
expected =  0.024034
expected =  0.023808
expected =  0.023424
expected =  0.022880
convolution =

   0.022959
   0.023036
   0.023111
   0.023183
   0.023253
   0.022537
   0.022627
   0.022714
   0.022798
   0.022880

结果非常相似。因此，我对卷积定理/FFT的理解一定有问题。

score 9 · Accepted Answer

要通过 FFT 对 2 个信号进行卷积，您通常需要执行以下操作：

根据需要向每个信号添加尽可能多的零，使其长度成为原始信号的累积长度 - 1（这是卷积结果的长度）。
如果您的 FFT 库要求输入长度为 2 的幂，请向每个信号添加尽可能多的零以满足该要求。
计算信号 1 的 DFT（通过 FFT）。
计算信号 2 的 DFT（通过 FFT）。
将两个 DFT 按元素相乘。顺便说一句，它应该是一个复杂的乘法。
计算相乘 DFT 的逆 DFT（通过 FFT）。这将是你的卷积结果。

在您的代码中，我FFTW_FORWARD在所有 3 个 FFT 中都看到了。我猜如果这不是问题，那是问题的一部分。最后的 FFT 应该是“向后”，而不是“向前”。

另外，我认为您在第二个表达式中需要“+”，而不是“-”：

convolution_f[i][0] = (distances_f[i][0] * sNMDAs_f[i][0]
            - distances_f[i][1] * sNMDAs_f[i][1]) * scale;

convolution_f[i][1] = (distances_f[i][0] * sNMDAs_f[i][1]
            - distances_f[i][1] * sNMDAs_f[i][0]) * scale;

score 2 · Accepted Answer

我终于解决了这个问题，非常感谢 Alex 和 Oli Charlesworth 的建议！

function ret = _w(i)
  ret = tanh(1 / (2* 1 * 32)) * exp(-abs(i) / (1 * 32));
end

_input = [0.186775; 0.186775; 0.186775; 0.186775; 0.186775; 0; 0.186775; 0.186775; 0.186775; 0.186775];
n = size(_input)(1);

input = _input;

for i = linspace(1, n, n)
  expected = 0;
  for j = linspace(1, n, n)
    expected += _w(i-j) * input(j);
  end
  expected
end

input = vertcat(_input, zeros((2*n)-n-1,1));

distances = _w(transpose(linspace(0, (2*n)-n-1, n)));
distances = vertcat(flipud(distances), distances(2:end));

input_f = fft(input);
distances_f = fft(distances);

convolution_f = input_f .* distances_f;

convolution = ifft(convolution_f)(n:end)

结果：

expected =  0.022959
expected =  0.023506
expected =  0.023893
expected =  0.024121
expected =  0.024190
expected =  0.024100
expected =  0.024034
expected =  0.023808
expected =  0.023424
expected =  0.022880
convolution =

   0.022959
   0.023506
   0.023893
   0.024121
   0.024190
   0.024100
   0.024034
   0.023808
   0.023424
   0.022880

我基本上忘了以正确的方式订购距离数组。如果有人有兴趣，我可以稍后提供更详细的解释。

更新：（解释）

这是我的距离向量（对于 5 个神经元）最初看起来很喜欢的样子：

i =  1       2       3       4       5

| _w(0) | _w(1) | _w(2) | _w(3) | _w(4) |

在这个向量上，我应用了一个内核，例如：

|  0.1  |  0.1  |  0.0  |  0.2  |  0.3  |

由于我使用的是循环卷积，因此第一个神经元 _w(0) 的结果是：

0.0 * _w(2) + 0.1 * _w(1) + 0.1 * _w(0) + 0.1 * _w(1) + 0.0 * _w(2)

但这是不正确的，结果应该是：

0.1 * _w(0) + 0.1 * _w(1) + 0.0 * _w(2) + 0.2 * _w(3) + 0.3 * _w(4)

为了实现这一点，我必须“镜像”我的距离向量并向内核添加一些填充：

input = vertcat(_input, zeros((2*n)-n-1,1));
distances = _w(transpose(linspace(0, (2*n)-n-1, n)));
distances = _w(transpose(linspace(0, (2*n)-n-1, n)));

i =  1       2        3       4       5       6       7       8       9

| _w(4) | _w(3)  | _w(2) | _w(1) | _w(0) | _w(1) | _w(2) | _w(3) | _w(4) |

|  0.1  |  0.1   |  0.0  |  0.2  |  0.3  |  0    |  0    |  0    |  0    |

现在，如果我应用卷积，i = [5:9] 的结果正是我正在寻找的结果，所以我只需要丢弃 [1:4] 就完成了:)

convolution = ifft(convolution_f)(n:end)

c++ - 使用 FFT (FFTW) 计算两个函数的卷积

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