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嗨，我正在尝试创建仿射变换，这将允许我将三角形转换为另一个三角形。我所拥有的是 2 个三角形的坐标。你能帮助我吗？

根据 Adam Rosenfield 的回答，我想出了这段代码，以防有人厌倦了自己求解方程：

public static AffineTransform createTransform(ThreePointSystem source,
            ThreePointSystem dest) {        
    double x11 = source.point1.getX();
    double x12 = source.point1.getY();
    double x21 = source.point2.getX();
    double x22 = source.point2.getY();
    double x31 = source.point3.getX();
    double x32 = source.point3.getY();
    double y11 = dest.point1.getX();
    double y12 = dest.point1.getY();
    double y21 = dest.point2.getX();
    double y22 = dest.point2.getY();
    double y31 = dest.point3.getX();
    double y32 = dest.point3.getY();

    double a1 = ((y11-y21)*(x12-x32)-(y11-y31)*(x12-x22))/
                ((x11-x21)*(x12-x32)-(x11-x31)*(x12-x22));
    double a2 = ((y11-y21)*(x11-x31)-(y11-y31)*(x11-x21))/
                ((x12-x22)*(x11-x31)-(x12-x32)*(x11-x21));
    double a3 = y11-a1*x11-a2*x12;
    double a4 = ((y12-y22)*(x12-x32)-(y12-y32)*(x12-x22))/
                ((x11-x21)*(x12-x32)-(x11-x31)*(x12-x22));
    double a5 = ((y12-y22)*(x11-x31)-(y12-y32)*(x11-x21))/
                ((x12-x22)*(x11-x31)-(x12-x32)*(x11-x21));
    double a6 = y12-a4*x11-a5*x12;
    return new AffineTransform(a1, a4, a2, a5, a3, a6);
}
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我假设您在这里谈论的是 2D。仿射变换矩阵有 9 个值：

    | a1 a2 a3 |
一个 = | a4 a5 a6 |
    | a7 a8 a9 |

有 3 个输入顶点x1, x2, 和x3, 变换后应变为y1, y2, y3。但是，由于我们在齐次坐标中工作，因此应用Atox1并不一定会给出y1- 它会给出y1. 因此，我们也有未知乘数k1,k2和k3, 等式：

A*x1 = k1*y1
A*x2 = k2*y2
A*x3 = k3*y3

每一个都是一个向量，所以我们真的有 12 个未知数的 9 个方程，所以解将是欠约束的。如果我们要求a7=0, a8=0, 和a9=1, 那么解将是唯一的（这个选择很自然，因为这意味着如果输入点是 ( x, y, 1)，那么输出点将始终具有齐次坐标 1，因此得到的变换是只是一个 2x2 变换加上一个翻译）。

因此，这将方程简化为：

a1*x11 + a2*x12 + a3 = k1*y11
a4*x11 + a5*x12 + a6 = k1*y12
                   1 = k1
a1*x21 + a2*x22 + a3 = k2*y21
a4*x21 + a5*x22 + a6 = k2*y22
                   1 = k2
a1*x31 + a2*x32 + a3 = k3*y31
a4*x31 + a5*x32​​ + a6 = k3*y32
                   1 = k3

所以，k1= k2= k3= 1。将这些插入并转换为矩阵形式会产生：

| x11 x12 1 0 0 0 | | a1 | | y11 |
| x21 x22 1 0 0 0 | | a2 | | y21 |
| x31 x32 1 0 0 0 | * | a3 | = | y31 |
| 0 0 0 x11 x12 1 | | a4 | | y12 |
| 0 0 0 x21 x22 1 | | a5 | | y22 |
| 0 0 0 x31 x32 1 | | a6 | | y32 |

求解这个 6x6 方程组可以得到仿射变换矩阵A。当且仅当源三角形的 3 个点不共线时，它将有一个独特的解决方案。

于 2009-07-11T18:04:22.167 回答
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嘿，伙计们，不失一般性，使两个三角形的原点为一个顶点（您可以稍后进行仿射移位），因此它们由点0、a、b、c、d定义，然后乘以您的通过矩阵 NM点x

在哪里

M = inverse( ab ) <--- 这是 2x2 矩阵，以点a和b作为其列

和

N = (光盘)

那应该这样做。

于 2009-07-11T18:10:26.413 回答
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如果我理解正确的话，你的三角形有相同的大小和角度，所以你应该能够转换它们，使它们（至少）有一个共同点。在此之后，它们应该仅在旋转方面有所不同或可以被镜像，因此您可以获取三角形线之间的角度并尝试这些角度进行旋转，如果没有一个角度可以镜像，则可以镜像其中一个三角形。

编辑：好的，这还不够，仿射变换也可以包含剪切和缩放...缩放可以很容易地完成，只需划分线的长度，这也会为您提供有关三角形对应线的一些信息，但剪切会再难一点……

OTOH，你不能为此求解一些方程系统吗？毕竟应该有一个变换矩阵和3个点（新旧）……

于 2009-07-11T17:59:01.010 回答
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只需将问题表述为一组方程，然后求解：

P1 * M = P1'
P2 * M = P2'
P3 * M = P3'

M是一个 3x3 矩阵，如：

[m00, m01, m02;
 m10, m11, m12;
 0  ,   0,   1]

并且P_i是一个元组[k*x_i, k*y_i, k]（齐次坐标）...

您现在可以尝试扩展上面显示的 3 个矩阵方程并创建一个新系统，使用m_ijas incognits 并解决它，但如果我没有遗漏任何东西（也许我是），您需要多一点来完全指定转换，否则您将拥有额外的自由度（当然您可以修复它）。

于 2009-07-11T18:03:41.047 回答