我试过norm了，但我认为它给出了错误的结果。（的规范c(1, 2, 3)是sqrt(1*1+2*2+3*3)，但它返回6..
x1 <- 1:3
norm(x1)
# Error in norm(x1) : 'A' must be a numeric matrix
norm(as.matrix(x1))
# [1] 6
as.matrix(x1)
# [,1]
# [1,] 1
# [2,] 2
# [3,] 3
norm(as.matrix(x1))
# [1] 6
有谁知道在 R 中计算向量范数的函数是什么？
norm(c(1,1), type="2") # 1.414214
norm(c(1, 1, 1), type="2") # 1.732051
这是自己编写的一个简单的函数：
norm_vec <- function(x) sqrt(sum(x^2))
我很惊讶没有人尝试分析上述建议方法的结果，所以我这样做了。我使用了一个随机统一函数来生成一个列表并将其用于重复（只是信封类型基准测试的简单背面）：
> uut <- lapply(1:100000, function(x) {runif(1000, min=-10^10, max=10^10)})
> norm_vec <- function(x) sqrt(sum(x^2))
> norm_vec2 <- function(x){sqrt(crossprod(x))}
>
> system.time(lapply(uut, norm_vec))
user system elapsed
0.58 0.00 0.58
> system.time(lapply(uut, norm_vec2))
user system elapsed
0.35 0.00 0.34
> system.time(lapply(uut, norm, type="2"))
user system elapsed
6.75 0.00 6.78
> system.time(lapply(lapply(uut, as.matrix), norm))
user system elapsed
2.70 0.00 2.73
似乎norm至少手动获取电源然后 sqrt 比内置实值向量更快。这可能是因为 norm 在内部进行了 SVD：
> norm
function (x, type = c("O", "I", "F", "M", "2"))
{
if (identical("2", type)) {
svd(x, nu = 0L, nv = 0L)$d[1L]
}
else .Internal(La_dlange(x, type))
}
并且 SVD 函数在内部将向量转换为矩阵，并执行更复杂的操作：
> svd
function (x, nu = min(n, p), nv = min(n, p), LINPACK = FALSE)
{
x <- as.matrix(x)
...
编辑（2019 年 10 月 20 日）：
有一些评论指出了上述测试用例没有带来的正确性问题：
> norm_vec(c(10^155))
[1] Inf
> norm(c(10^155), type="2")
[1] 1e+155
发生这种情况是因为大数在 R 中被视为无穷大：
> 10^309
[1] Inf
所以，它看起来像：
似乎手动获取电源然后 sqrt 比用于小数字的实值向量的内置规范更快。
多么小？这样平方和就不会溢出。
norm(x, type = c("O", "I", "F", "M", "2"))
The default is "O".
"O", "o" or "1" specifies the one norm, (maximum absolute column sum);
"F" or "f" specifies the Frobenius norm (the Euclidean norm of x treated as if it were a vector);
norm(as.matrix(x1),"o")
The result is 6, same as norm(as.matrix(x1))
norm(as.matrix(x1),"f")
The result is sqrt(1*1+2*2+3*3)
So, norm(as.matrix(x1),"f") is answer.
我们还可以找到范数：
Result<-sum(abs(x)^2)^(1/2)
或者甚至您也可以尝试：
Result<-sqrt(t(x)%*%x)
两者都会给出相同的答案
我也要把它作为等效的 R 表达式扔出去
norm_vec(x) <- function(x){sqrt(crossprod(x))}
不要将 R 的 crossprod 与类似命名的 vector/ cross product混淆。众所周知，这种命名会引起混淆，尤其是对于那些具有物理/力学背景的人。
带有缩放以避免破坏性下溢和溢出的向量的欧几里得长度（k-范数）的答案是
norm <- function(x, k) { max(abs(x))*(sum((abs(x)/max(abs(x)))^k))^(1/k) }
请参阅下面的说明。
1. 没有缩放的向量的欧几里得长度：
norm()是一个向量值函数，它计算向量的长度。它需要两个参数，例如 class 的向量x和 classmatrix的范数k类型integer。
norm <- function(x, k) {
# x = matrix with column vector and with dimensions mx1 or mxn
# k = type of norm with integer from 1 to +Inf
stopifnot(k >= 1) # check for the integer value of k greater than 0
stopifnot(length(k) == 1) # check for length of k to be 1. The variable k is not vectorized.
if(k == Inf) {
# infinity norm
return(apply(x, 2, function(vec) max(abs(vec)) ))
} else {
# k-norm
return(apply(x, 2, function(vec) (sum((abs(vec))^k))^(1/k) ))
}
}
x <- matrix(c(1,-2,3,-4)) # column matrix
sapply(c(1:4, Inf), function(k) norm(x = x, k = k))
# [1] 10.000000 5.477226 4.641589 4.337613 4.000000
注意：
在norm()函数定义中，对于具有实分量的向量，绝对值可以在 norm-2k 甚至索引范数中删除，其中k >= 1.
如果您对norm函数定义感到困惑，您可以单独阅读下面给出的每一个。
norm_1 <- function(x) sum(abs(x))
norm_2 <- function(x) (sum((abs(x))^2))^(1/2)
norm_3 <- function(x) (sum((abs(x))^3))^(1/3)
norm_4 <- function(x) (sum((abs(x))^4))^(1/4)
norm_k <- function(x) (sum((abs(x))^k))^(1/k)
norm_inf <- max(abs(x))
2. 带有缩放的向量的欧几里得长度以避免破坏性的上溢和下溢问题：
注2：
这个解决方案的唯一问题norm()是它不能防止这里和这里提到的溢出或下溢问题。
幸运的是，有人已经在 blas（基本线性代数子程序）fortran 库中解决了 2 范数（欧几里得长度）的问题。可以在“Kahaner、Moler 和 Nash 的数值方法和软件”教科书 - 第 1 章，第 1.3 节，第 7-9 页中找到对这个问题的描述。
fortran 子例程的名称是，它通过缩放向量分量的最大值来dnrm2.f处理破坏性上溢和下溢问题。norm()由于norm()函数中的激进操作，会出现破坏性上溢和下溢问题。
dnrm2.f我将在R下面展示如何实现。
#1. find the maximum among components of vector-x
max_x <- max(x)
#2. scale or divide the components of vector by max_x
scaled_x <- x/max_x
#3. take square of the scaled vector-x
sq_scaled_x <- (scaled_x)^2
#4. sum the square of scaled vector-x
sum_sq_scaled_x <- sum(sq_scaled_x)
#5. take square root of sum_sq_scaled_x
rt_sum_sq_scaled_x <- sqrt(sum_sq_scaled_x)
#6. multiply the maximum of vector x with rt_sum_sq_scaled_x
max_x*rt_sum_sq_scaled_x
dnrm2.f上述6个步骤的单行R是：
# Euclidean length of vector - 2norm
max(x)*sqrt(sum((x/max(x))^2))
让我们尝试示例向量来计算此问题的 2 范数（请参阅此线程中的其他解决方案）。
x = c(-8e+299, -6e+299, 5e+299, -8e+298, -5e+299)
max(x)*sqrt(sum((x/max(x))^2))
# [1] 1.227355e+300
x <- (c(1,-2,3,-4))
max(x)*sqrt(sum((x/max(x))^2))
# [1] 5.477226
因此，在 R 中实现 k 范数的通用解决方案的推荐方法是单行，它可以防止破坏性上溢或下溢问题。为了改进这种单线，您可以norm()对包含不太小或不太大的分量knorm()的向量使用不缩放和对分量过小或太大的向量进行缩放的组合。对所有向量实施缩放会导致计算量过多。我没有在knorm()下面给出这个改进。
# one-liner for k-norm - generalized form for all norms including infinity-norm:
max(abs(x))*(sum((abs(x)/max(abs(x)))^k))^(1/k)
# knorm() function using the above one-liner.
knorm <- function(x, k) {
# x = matrix with column vector and with dimensions mx1 or mxn
# k = type of norm with integer from 1 to +Inf
stopifnot(k >= 1) # check for the integer value of k greater than 0
stopifnot(length(k) == 1) # check for length of k to be 1. The variable k is not vectorized.
# covert elements of matrix to its absolute values
x <- abs(x)
if(k == Inf) { # infinity-norm
return(apply(x, 2, function(vec) max(vec)))
} else { # k-norm
return(apply(x, 2, function(vec) {
max_vec <- max(vec)
return(max_vec*(sum((vec/max_vec)^k))^(1/k))
}))
}
}
# 2-norm
x <- matrix(c(-8e+299, -6e+299, 5e+299, -8e+298, -5e+299))
sapply(2, function(k) knorm(x = x, k = k))
# [1] 1.227355e+300
# 1-norm, 2-norm, 3-norm, 4-norm, and infinity-norm
sapply(c(1:4, Inf), function(k) knorm(x = x, k = k))
# [1] 2.480000e+300 1.227355e+300 9.927854e+299 9.027789e+299 8.000000e+299
x <- matrix(c(1,-2,3,-4))
sapply(c(1:4, Inf), function(k) knorm(x = x, k = k))
# [1] 10.000000 5.477226 4.641589 4.337613 4.000000
x <- matrix(c(1,-2,3,-4, 0, -8e+299, -6e+299, 5e+299, -8e+298, -5e+299), nc = 2)
sapply(c(1:4, Inf), function(k) knorm(x = x, k = k))
# [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
# [1,] 1.00e+01 5.477226e+00 4.641589e+00 4.337613e+00 4e+00
# [2,] 2.48e+300 1.227355e+300 9.927854e+299 9.027789e+299 8e+299
如果您有一个 data.frame 或一个 data.table 'DT'，并且想要计算每一行的欧几里得范数（范数 2），则apply可以使用该函数。
apply(X = DT, MARGIN = 1, FUN = norm, '2')
例子：
>DT
accx accy accz
1: 9.576807 -0.1629486 -0.2587167
2: 9.576807 -0.1722938 -0.2681506
3: 9.576807 -0.1634264 -0.2681506
4: 9.576807 -0.1545590 -0.2681506
5: 9.576807 -0.1621254 -0.2681506
6: 9.576807 -0.1723825 -0.2682434
7: 9.576807 -0.1723825 -0.2728810
8: 9.576807 -0.1723825 -0.2775187
> apply(X = DT, MARGIN = 1, FUN = norm, '2')
[1] 9.581687 9.582109 9.581954 9.581807 9.581932 9.582114 9.582245 9.582378
按照 AbdealiJK 的回答，
我进一步实验以获得一些见解。
这是一个。
x = c(-8e+299, -6e+299, 5e+299, -8e+298, -5e+299)
sqrt(sum(x^2))
norm(x, type='2')
第一个结果是Inf，第二个结果1.227355e+300是非常正确的，正如我在下面的代码中向您展示的那样。
library(Rmpfr)
y <- mpfr(x, 120)
sqrt(sum(y*y))
结果是1227354879...。我没有计算尾随数字的数量，但看起来还不错。我知道解决这个OVERFLOW问题的另一种方法是首先将日志函数应用于所有数字并总结，我没有时间实现！
使用 cbind 将矩阵创建为立柱虎钳，然后 norm 函数与 Frobenius norm（欧几里得范数）作为参数很好地配合使用。
x1<-cbind(1:3)
范数（x1，“f”）
[1] 3.741657
平方（1*1+2*2+3*3）
[1] 3.741657