math - 将矩形变成圆环

Question

我有一个矩形，我需要“弯曲”成一个环，即矩形的顶部边缘必须映射到环的外圆，底部映射到内圆，并且矩形的边应该连接。

这是矩形和环的非常粗略的草图：

如果有帮助或有必要，我可以将矩形视为水平线的集合，将环视为圆的集合。

矩形具有从 a 到 b 的水平渐变，应该映射，以便渐变在圆形方向上进行。

我可以看到这是一个非线性变换，但是我不知道在哪里可以学习解决这个问题的技术。任何在 CG 方面有适当经验的人都可以为我指出正确的文本、正确的算法名称或正确的图形库来制作我的戒指吗？

Answer 1

尝试只使用极坐标。如果将 x 映射为 r 并将 y 映射为 θ（标准化为 θ 从 0 到 2π），那么向 r 添加一些偏移量将改变环的半径，向 θ 添加偏移量将使其围绕圆旋转。

r = fx + a
g = (max_y - min_y)/(2*pi)
theta = gy + b

其中 a 和 b 是这些偏移量，f 缩放环的宽度，g 将矩形的长度标准化为 2π。从这些极坐标转换回笛卡尔坐标（即屏幕）只是：

x' = r cos(theta)
y' = r sin(theta)

然后，您有 3 个坐标系：(x,y) 用于原始矩形，(r,θ) 用于环的极坐标，(x',y') 用于屏幕坐标。