r - 如何生成具有不同边际分布的多元随机数？

Question

我已经不知道如何生成一些二元随机数，比如在 copula 中。边缘有不同的分布，即t，gamma，联合结构可以是高斯或t。我将不得不修复他们的肯德尔头。我想检查这些随机数的 pearson rho 与预设的 tau 有何不同。

有什么建议吗？非常感谢 R/Matlab 中的一个原型！

Answer 1

如果您有 Statistics Toolbox，您可以使用函数从 copula 生成随机数copularnd。文档中有几个示例。要在使用 Kendall 的 tau 和 Pearson 的 rho 之间进行转换，请查看copulaparamand copulastat。

Answer 2

您可以按如下方式构造高斯 copula。当然，无法保证 copula 准确地达到您想要的目标相关性。该性能取决于边际分布的属性。

示例 1：对边际使用逆变换（指数和 Weibull）

rng(1776)   % Setting seed for reproducibility
lambda1 = 2; alpha1 = 2; beta = 3;
rho = 0.8; N = 10^5;

Z = mvnrnd([0 0],[1 rho; rho 1], N);
U = normcdf(Z);
X1 = (-1/lambda1)*log(U(:,1));  % Inverse Transform for Exponential
Y1 = beta*(-log(U(:,2))).^(1/alpha1);  % Inverse Transform for Weibull
corr(X1,Y1)
scatterhist(X1,Y1,'Direction','out','Marker','.','Color','b')

示例 2：对边际使用数值 CDF 反演（Gamma 和对数正态）

rng(1776)
alpha2 = 6.7; lambda2 = 3; 
mu = 0.1; sigma = 0.5;
rho = -0.8; N = 10^5;
% Make distributions
pd_X2 = makedist('Gamma',alpha2,lambda2);
pd_Y2 = makedist('Lognormal',mu,sigma);
Z = mvnrnd([0 0],[1 rho; rho 1], N);
U = normcdf(Z);
X2 = icdf(pd_X2,U(:,1));
Y2 = icdf(pd_Y2,U(:,2));
corr(X2,Y2)
scatterhist(X2,Y2,'Direction','out','Marker','.','Color','k')

参考：
逆变换
Copulas

高斯系词：
罗斯，谢尔顿。（2013）。模拟。学术出版社，加利福尼亚州圣地亚哥，第 5 版。103-105。

Answer 3

如果您有两个不同的变量 x1、x2，您可以使用 copula 理论来生成一些随机数。所以你必须计算变量的 CDF：

[Fi1, xi1] = ecdf(x1);

[Fi2, xi2] = ecdf(x2);

或者

Fi1 = ksdensity(x1,x1, 'function','cdf');

Fi2 = ksdensity(x2,x2, 'function','cdf');

随后，您可以计算 kendall 的 tau 相关性，如下所示：

tau = corr(x1,x2, 'type', 'kendall');

rho = copulaparam('t',tau, nu, 'type','kendall');

以 copularnd 为目标，您可以生成 Gaussian、t、Clayton、Frank 或 Gumbel copula 的随机值 (n=1000)，然后您只需以所需分布为目标估计 copula 的逆 cdf。

n = 1000;

U = copularnd('Gaussian',[1  rho;rho 1],n);

% Inverse cdf of Gamma distribution 

X1 = gaminv(U(:,1),2,1);

% Inverse cdf of Student's t distribution

X2 = tinv(U(:,2),5); 

或者

X1 = ksdensity(x1, U(:,1), 'function','icdf','width',.15);
X2 = ksdensity(x2, U(:,2), 'function','icdf','width',.15);

因此，现在 X1 和 X2 表示从初始 x1 和 x2 变量生成的新随机值。

我是copula统计的新手，如果我犯了错误，请原谅..