23

大多数数学家都同意：

e πi + 1 = 0

但是，大多数浮点实现不同意。我们能在多大程度上解决这个争端？

我很想听听不同的语言和实现，以及使结果尽可能接近零的各种方法。要有创意！

4

10 回答 10

17

并不是大多数浮点实现不同意，只是它们无法获得获得 100% 答案所需的准确性。正确的答案是他们不能。

PI 是一个无限系列的数字，除了符号表示之外，没有人能够用任何东西来表示，而 e^X 也是如此，因此达到 100% 准确度的唯一方法就是使用符号表示。

于 2008-12-26T20:22:01.910 回答
10

这是我尝试过的实现和语言的简短列表。它按接近于零的程度排序：

  • 方案：(+ 1 (make-polar 1 (atan 0 -1)))
    • ⇒ 0.0+1.2246063538223773e-16i（Chez 方案，麻省理工学院方案）
    • ⇒ 0.0+1.22460635382238e-16i（诡计）
    • ⇒ 0.0+1.22464679914735e-16i（numbers鸡蛋鸡）
    • ⇒ 0.0+1.2246467991473532e-16i(MzScheme, SISC, Gauche, Gambit)
    • ⇒ 0.0+1.2246467991473533e-16i(单片机)
  • 普通 Lisp：(1+ (exp (complex 0 pi)))
    • ⇒ #C(0.0L0 -5.0165576136843360246L-20)(CLISP)
    • ⇒ #C(0.0d0 1.2246063538223773d-16)(CMUCL)
    • ⇒ #C(0.0d0 1.2246467991473532d-16)(SBCL)
  • 珀尔：use Math::Complex; Math::Complex->emake(1, pi) + 1
    • ⇒1.22464679914735e-16i
  • Python：from cmath import exp, pi; exp(complex(0, pi)) + 1
    • ⇒ 1.2246467991473532e-16j(CPython)
  • 红宝石：require 'complex'; Complex::polar(1, Math::PI) + 1
    • ⇒ Complex(0.0, 1.22464679914735e-16)(核磁共振)
    • ⇒ Complex(0.0, 1.2246467991473532e-16)(JRuby)
  • 回复：complex(argument = pi) + 1
    • ⇒0+1.224606353822377e-16i
于 2008-08-04T06:22:18.713 回答
7

有可能解决这个争端吗？

我的第一个想法是寻找一种符号语言，例如Maple。我不认为这算作浮点数。

事实上，如何在传统的编程语言中表示i（或工程师的j ）？

也许一个更好的例子是 sin(π) = 0？（或者我又错过了重点？）

于 2008-08-04T06:29:03.910 回答
5

我同意 Ryan 的观点，你需要转移到另一个数字表示系统。该解决方案超出了浮点数学的范围，因为您需要将 pi 表示为无限长的小数，因此任何有限的精度方案都行不通（至少在不使用某种软糖因子来弥补丢失的情况下）精确）。

于 2008-08-25T01:10:29.007 回答
5

您的问题对我来说似乎有点奇怪，因为您似乎暗示浮点数学是由该语言实现的。这通常不是真的，因为 FP 数学是使用硬件中的浮点处理器完成的。但是无论是软件还是硬件，浮点数总是不准确的。这就是花车的工作原理。

如果您需要更高的精度，则需要使用不同的数字表示。就像您对不适合 int 或 long 的数字进行整数数学一样。有些语言有内置的库（我知道 java 有 BigInteger 和 BigDecimal），但你必须明确地使用这些库而不是原生类型，并且性能会（有时明显）比使用浮点数更差。

于 2008-08-25T13:37:28.430 回答
4

@瑞恩福克斯

事实上，如何在传统的编程语言中表示 i（或工程师的 j）？

原生复杂数据类型远非未知。Fortran 在 60 年代中期就有了它，并且 OP 展示了各种其他语言来支持它们。

复数可以作为库添加到其他语言中（通过运算符重载，它们甚至看起来就像代码中的本机类型）。

但是除非你为这个问题提供一个特例，否则“不同意”只是不精确的机器算术的一种表达，不是吗？这就像在抱怨

float r = 2/3;
float s = 3*r;
float t = s - 2;

以 (t != 0) 结尾（至少如果您使用足够愚蠢的编译器）...

于 2008-08-25T13:29:01.803 回答
4

我和我最好的朋友聊了很久的咖啡聊天，谈论无理数和其他数字之间的差异。好吧，我们俩都同意这个不同的观点：

无理数在某种程度上是关系，作为函数，以什么方式？好吧，想想“如果你想要一个完美的圆，给我一个完美的圆周率”，但圆与其他图形不同（4 边、5、6... 100、200）但是......还有多少边呢你有，更像一个圆圈的样子。如果您到目前为止一直关注我，那么在这里将所有这些想法联系起来就是 pi 公式： 在此处输入图像描述

所以，pi 是一个函数，但它永远不会结束！因为 ∞ 参数，但我喜欢认为您可以拥有 pi 的“实例”，如果您将 ∞ 参数更改为非常大的 Int，您将拥有一个非常大的 pi 实例。

和e一样，给我一个巨大的参数，我给你一个巨大的e。

把所有的想法放在一起：

由于我们有内存限制，语言和库为我们提供了巨大的无理数实例，在这种情况下，pi 和 e，作为最终结果，你将有很长的方法来获得 0，就像@Chris Jester-Young 提供的示例一样

于 2017-05-06T03:07:58.910 回答
3

事实上，如何在传统的编程语言中表示 i（或工程师的 j）？

在没有本机表示的语言中，通常使用 OOP 添加它以创建一个Complex表示iand的类，并j使用运算符重载来正确处理涉及其他Complex数字和或该语言本机的其他数字原语的操作。

例如：Complex.java , C++ < complex >

于 2008-08-25T13:48:46.517 回答
3

数值分析告诉我们，你不能依赖大数之间微小差异的精确值。

这不仅会影响这里所讨论的方程，还会给所有事情带来不稳定性，从求解一组近乎奇异的联立方程组，到找到多项式的零点，再到计算 log(~1) 或 exp(~0) (我什至看到了用于评估 log(x+1) 和 (exp(x)-1) 来解决这个问题的特殊函数。

我鼓励你不要考虑将差异归零——你不能——而是以确保最小误差的方式进行相关计算。

对不起，自从我在大学里听到这句话已经 43 年了，即使我能记住参考资料，我相信现在还有更好的东西。我建议以此为起点。

如果这听起来有点傲慢，我道歉。我的“数值分析 101”是我化学课程的一部分，因为当时没有太多的 CS。我真的不知道数值分析在现代 CS 课程中的位置/重要性。

于 2008-12-26T21:22:09.527 回答
3

这是我们当前浮点计算架构的限制。浮点运算只是数字极点的近似值，例如 e 或 pi（或任何超出您的位允许的精度）。我真的很喜欢这些数字，因为它们无视分类，并且似乎比标准系列的素数具有更大的熵（？）。比率不符合数字表示，有时像这样简单的事情会让人大吃一惊（我喜欢它）。

幸运的是，通过使用符号概念（类似于Lasse V. Karlsen所描述的那些），整个语言和库都可以专用于精确三角函数。

考虑一种以机器可以理解的形式描述 e 和 pi 等概念的库/语言。机器对什么是完美圆有任何概念吗？可能不是，但我们可以创建一个对象 - 圆，它满足我们赋予它的所有已知特征（恒定半径，半径与圆周的关系为 2*pi*r = C）。像 pi 这样的对象仅由上述比率描述。r & C 可以是数字对象，用你想给它们的任何精度来描述。e 可以定义为“因为 e 是唯一的实数，使得函数 f(x) = ex 在点 x = 0 处的导数（切线的斜率）的值恰好是 1”来自维基百科。

有趣的问题。

于 2009-11-20T20:37:54.937 回答