fft - 用 FFT 对振荡函数进行傅里叶积分/傅里叶变换

Question

f(x) = cos(x^2)并且g(k) = pi^0.5 cos((pi*k)^2 - pi/4)是傅里叶对。

我想g(k)通过傅里叶积分f(x)使用 FFT 来重现，即

近似Integrate[ f(x) * exp(2 pi * ikx), {x, -inf, inf} ]

和Sum[ fn * exp(2 pi * ik x_n), {n, 0, N-1} ] * Delta_x

然而，如果结果完全一致，则结果g(k)仅在非常小k的范围内一致（相同的代码适用于平滑傅里叶对，例如高斯函数）。N我猜问题是为and选择合适的值Delta_x。是否有任何既定的规则来选择它们？我在哪里可以找到文献中的相关主题（我已经阅读了数字食谱第 13.9 节，但它似乎没有解决我的问题）？

Answer 1

FFT 本质上是具有长度为 N 的矩形窗口的窗口 f(x)。对于在该窗口内不完全周期性的任何 k，这将产生不同的 g(k) 结果。您可以尝试选择 Delta_X 和 N，以便它们的结果是所需 k 的精确整数倍。