python - 左特征向量在 scipy 中没有给出正确的（马尔科夫）平稳概率

Question

给定以下马尔可夫矩阵：

import numpy, scipy.linalg
A = numpy.array([[0.9, 0.1],[0.15, 0.85]])

平稳概率存在且等于[.6, .4]。这很容易通过矩阵的大幂来验证：

B = A.copy()
for _ in xrange(10): B = numpy.dot(B,B)

在这里B[0] = [0.6, 0.4]。到现在为止还挺好。根据维基百科：

平稳概率向量被定义为在转移矩阵的应用下不改变的向量；也就是说，它被定义为概率矩阵的左特征向量，与特征值 1 相关联：

所以我应该能够计算特征值为 1 的左特征向量A，这也应该给我平稳概率。Scipy 的实现eig有一个 left 关键字：

scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)

给出：

(array([ 1.00+0.j,  0.75+0.j]), array([[ 0.83205029, -0.70710678],
   [ 0.5547002 ,  0.70710678]]))

这说明主要的左特征向量是：[0.83205029, 0.5547002]。我读错了吗？如何[0.6, 0.4]使用特征值分解获得？

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[0.83205029, 0.5547002]只是[0.6, 0.4]乘以〜1.39 。

如果 $\vec{v} A = \lambda \vec{v}$ ，那么显然 $(\alpha \vec{v}) A = \lambda (\alpha \vec{v})$

所以，要让[0.6, 0.4]你应该这样做：

>>> v = scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)[1][:,0]
>>> v
array([ 0.83205029,  0.5547002 ])
>>> v / sum(v)
array([ 0.6,  0.4])

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就特征向量而言，该eig函数返回单位向量。

所以，如果我们取 v = [0.6, 0.4]，它的长度是： l = np.sqrt(np.square(a).sum())或l = np.linalg.norm(v)，所以归一化向量（从中返回scipy.linalg.eig）是：

>>> v = np.array([.6, .4])
>>> l = np.sqrt(np.square(a).sum())
>>> v / l
array([0.83205029, 0.5547002 ])

因此，如果您需要向量是马尔可夫链中的随机向量或概率向量，只需对其进行缩放，使其总和为 1.0

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