在找到两个平面相交的线的情况下，您需要取两个平面法线的叉积。这个叉积只是取矩阵的行列式：
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
其中 (x, y, z) 是每个平面的法线向量。结果是一个平行于相交线的向量。从那里你需要找到一个位于两个平面上的点。这两个部分结合起来为您提供了一条完全定义的线。
如何将其扩展到与平面相交的超平面？我假设我需要采用类似矩阵的行列式，但我想到的矩阵：
h i j k
w1 x1 y1 z1
w2 x2 y2 z2
不是方阵。另外，我不知道如何找到位于两个超平面上的点。
谁能向我解释如何找到超平面的相交平面？
谢谢你的时间！
您不必为此计算行列式，只需执行简单的变量替换即可获得相交平面。例如，如果您有两个超平面：
3x + 4y + 2z - 7w = 10
2x - 3y + 2z + 1w = 2
然后您可以隔离w（或任何其他变量）：
w = 2 - 2x + 3y - 2z
并在第一个等式中替换它：
3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z) = 10
结果是：
17x - 17y + 16z - 14 = 10
现在你有了你的交叉平面。只是简单的数学。
完整的 4D 平面表示基于两个方程，首先您找到(x, y, z)求解的值，17x - 17y + 16z - 14 = 10然后w使用w = 2 - 2x + 3y - 2z.
简单变量替换的答案是不正确的。3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z) = 10 本身就是四维空间中的一个三维超平面，并不代表四维空间中两个给定的三维超平面的交点. 方程少一个变量这一事实并不会降低对象的维度。
打个比方：y=7 仍然是 2d 中的一维线，就像 y=x+7 一样。而 z+y=5 仍然是 3d 中的 2d 平面，就像 x+y+z=5 一样。
变量替换在 3D 中不起作用，我们按照概述进行叉积，它在 4D 中不起作用。在 4D 中表示一个 2D 对象需要 2 个方程（两个 3D 超平面的交点是一个 2D 对象。）为了类比，告诉我在 2D 中映射为一个点的单个“方程”。y=5x+2 是一条线，y=x 是一条线，x=6 是一条线，y=0 是一条线。如果我们在 4D 中，即使是简单的方程 y=1 也是一个 3D 超平面。删除变量不是获得 2D 中 0D 点、3D 中 1D 线或 4D 中 2D 两 3D 超平面的 2D 交叉等式的方法。所有这些都需要两个同时为真的方程来定义它们。不能只替换变量。
您需要设置一个与超平面相对应的矩阵系统 (Ax=b)，然后查看解决方案的秩。这将说明它是否有解决方案，如果有，是否是点/线/平面/等。
我有一个问题：“R^4 中有 n 个 3-dim 超车道，它们之间的交点是一个平面，对于所有正整数 n，是否真的如此？”