primes - 阿特金筛法的解释

Question

我目前正在做一个项目，我需要一种有效的方法来计算素数。我使用过Eratosthenes 的筛子，但我一直在四处寻找，发现Atkin 的筛子是一种更有效的方法。我发现很难找到这种方法的解释（我已经能够理解！）。它是如何工作的？示例代码（最好是 C 或 python）会很棒。

编辑：感谢您的帮助，我唯一仍然不明白的是伪代码中 x 和 y 变量所指的内容。有人可以为我解释一下吗？

score 13 · Accepted Answer

wiki 页面始终是一个很好的起点，因为它完整地解释了算法并提供了注释伪代码。（注意有很多细节，而且由于 wiki 网站是可靠的，我不会在这里引用它。）

对于您提到的特定语言的参考资料：

C 实现（优化）
Python 实现

希望有帮助。

score 10 · Accepted Answer

维基百科文章有一个解释：

“该算法完全忽略任何可被二、三或五整除的数字。所有具有偶数模 60 余数的数都可被二整除而不是素数。所有模数为 60 余数可被三整除的数也能被三整除，而不是素数。所有模 60 余数可被 5 整除的数都可被 5 整除，而不是素数。所有这些余数都被忽略。”

让我们从著名的开始

primes = sieve [2..] = sieve (2:[3..])   
  -- primes are sieve of list of 2,3,4... , i.e. 2 prepended to 3,4,5...
sieve (x:xs) = x : sieve [y | y <- xs, rem y x /= 0]   -- set notation
  -- sieve of list of (x prepended to xs) is x prepended to the sieve of 
  --                  list of `y`s where y is drawn from xs and y % x /= 0

让我们看看它是如何进行几个第一步的：

primes = sieve [2..] = sieve (2:[3..]) 
                     = 2 : sieve p2     -- list starting w/ 2, the rest is (sieve p2)
p2 = [y | y <- [3..], rem y 2 /= 0]     -- for y from 3 step 1: if y%2 /= 0: yield y

p2是不包含2的倍数。IOW 它只包含与2互质的数字——其中没有数字以p22作为其因数。要找到p2我们实际上不需要测试每个数字除以2[3..]（即3及以上，3,4,5,6,7,... ），因为我们可以提前枚举2的所有倍数：

rem y 2 /= 0  ===  not (ordElem y [2,4..])     -- "y is not one of 2,4,6,8,10,..."

ordElem就像elem（即is-element测试），它只是假设它的 list 参数是一个有序的、递增的数字列表，因此它可以安全地检测不存在以及存在：

ordElem y xs = take 1 (dropWhile (< y) xs) == [y]   -- = elem y (takeWhile (<= y) xs)

普通elem不假设任何东西，因此必须检查其列表参数的每个元素，因此无法处理无限列表。ordElem能够。那么，那么，

p2 = [y | y <- [3..], not (ordElem y [2,4..])]  -- abstract this as a function, diff a b =
   = diff      [3..]                 [2,4..]    --       = [y | y <- a, not (ordElem y b)]
   -- 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
   -- . 4 . 6 . 8 . 10  . 12  . 14  . 16  . 18  . 20  . 22  .
   = diff [3..] (map (2*)            [2..] )  --  y > 2, so [4,6..] is enough
   = diff [2*k+x | k <- [0..],  x <- [3,4]]   -- "for k from 0 step 1: for x in [3,4]:
          [2*k+x | k <- [0..],  x <- [  4]]   --                            yield (2*k+x)"
   = [     2*k+x | k <- [0..],  x <- [3  ]]   -- 2 = 1*2 = 2*1
   = [3,5..]                                  -- that's 3,5,7,9,11,...

p2只是2以上所有赔率的列表。好吧，我们知道。下一步呢？

sieve p2 = sieve [3,5..] = sieve (3:[5,7..]) 
                         = 3 : sieve p3
p3 = [y | y <- [5,7..], rem y 3 /= 0]
   = [y | y <- [5,7..], not (ordElem y [3,6..])]           -- 3,6,9,12,...
   = diff [5,7..] [6,9..]         -- but, we've already removed the multiples of 2, (!)
   -- 5 . 7 . 9 . 11 . 13 . 15 . 17 . 19 . 21 . 23 . 25 . 27 .
   -- . 6 . . 9 . . 12  . . 15 . . 18  . . 21 . . 24  . . 27 .
   = diff [5,7..] (map (3*) [3,5..])                       -- so, [9,15..] is enough
   = diff [2*k+x | k <- [0..], x <- [5]] (map (3*)
          [2*k+x | k <- [0..], x <- [    3]] )
   = diff [6*k+x | k <- [0..], x <- [5,7,9]]               -- 6 = 2*3 = 3*2
          [6*k+x | k <- [0..], x <- [    9]] 
   = [     6*k+x | k <- [0..], x <- [5,7  ]]               -- 5,7,11,13,17,19,...

而接下来，

sieve p3 = sieve (5 : [6*k+x | k <- [0..], x <- [7,11]])
         = 5 : sieve p5
p5 = [y | y <-        [6*k+x | k <- [0..], x <- [7,11]], rem y 5 /= 0]
   = diff [ 6*k+x | k <- [0..], x <- [7,11]]   (map   (5*)
          [ 6*k+x | k <- [0..], x <- [                  5,       7]]) -- no mults of 2 or 3!
   = diff [30*k+x | k <- [0..], x <- [7,11,13,17,19,23,25,29,31,35]]  -- 30 = 6*5 = 5*6
          [30*k+x | k <- [0..], x <- [                 25,      35]]
   = [     30*k+x | k <- [0..], x <- [7,11,13,17,19,23,   29,31   ]]

这是阿特金筛子的工作顺序。其中不存在2、3或5的倍数。Atkin 和 Bernstein以60为模工作，即它们将范围加倍：

p60 = [ 60*k+x | k <- [0..], x <- [1, 7,11,13,17,19,23,29,31, 37,41,43,47,49,53,59]]

接下来，他们使用一些复杂的定理来了解每个数字的一些属性，并相应地处理每一个。整个过程以60的周期重复（a-la “轮子”）。

“所有模数为 60 余数为 1、13、17、29、37、41、49 或 53 (...) 的数 n 当且仅当4x^2 + y^2 = n解数为奇数且数为无平方数时为素数。”

这意味着什么？如果我们知道这个方程的解的数量对于这样的数字是奇数，那么如果它是无平方的，它就是素数。这意味着它没有重复的因子（如49、121等）。

Atkin 和 Bernstein 使用它来减少整体操作的数量：对于每个素数（从7及以上），我们枚举（并标记删除）其平方的倍数，因此它们比 Eratosthenes 的筛子相距更远，因此在给定范围内它们的数量较少。

其余规则如下：

“所有模六十余3x^2 + y^2 = n数为 7、19、31 或 43 (...) 的数 n 当且仅当解数为奇数且数为无平方数时为素数。”
“所有模六十余3x^2 − y^2 = n数为 11、23、47 或 59 (...) 的数 n 当且仅当解数为奇数且该数为无平方数时为素数。”

这会处理p60.

另请参阅：找到素数的最快算法是哪个？

Eratosthenes 筛产生高达N的素数的时间复杂度为O(N log log N)，而 Atkin 筛的时间复杂度为O(N)（撇开log log N不能很好扩展的额外优化）。但公认的观点是，阿特金筛子中的常数因子要高得多，因此它可能只会在高于 32 位数字 ( N > 2 ³² )的情况下得到回报，如果有的话。

score 3 · Accepted Answer

编辑：我唯一不明白的是伪代码中的 x 和 y 变量指的是什么。有人可以为我解释一下吗？

有关维基百科页面伪代码（或阿特金筛的其他更好实现）中“x”和“y”变量的常见用法的基本解释，您可能会发现我对另一个相关问题的回答很有帮助。

score 2 · Accepted Answer

这是阿特金斯筛子的 C++ 实现，可能对您有所帮助...

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
using namespace std;

#define  limit  1000000

int root = (int)ceil(sqrt(limit));
bool sieve[limit];
int primes[(limit/2)+1];

int main (int argc, char* argv[])
{
   //Create the various different variables required
   FILE *fp=fopen("primes.txt","w");
   int insert = 2;
   primes[0] = 2;
   primes[1] = 3;
   for (int z = 0; z < limit; z++) sieve[z] = false; //Not all compilers have false as the       default boolean value
   for (int x = 1; x <= root; x++)
   {
        for (int y = 1; y <= root; y++)
        {
             //Main part of Sieve of Atkin
             int n = (4*x*x)+(y*y);
             if (n <= limit && (n % 12 == 1 || n % 12 == 5)) sieve[n] ^= true;
             n = (3*x*x)+(y*y);
             if (n <= limit && n % 12 == 7) sieve[n] ^= true;
             n = (3*x*x)-(y*y);
             if (x > y && n <= limit && n % 12 == 11) sieve[n] ^= true;
        }
   }
        //Mark all multiples of squares as non-prime
   for (int r = 5; r <= root; r++) if (sieve[r]) for (int i = r*r; i < limit; i += r*r) sieve[i] = false;
   //Add into prime array
   for (int a = 5; a < limit; a++)
   {
            if (sieve[a])
            {
                  primes[insert] = a;
                  insert++;
            }
   }
   //The following code just writes the array to a file
   for(int i=0;i<1000;i++){
             fprintf(fp,"%d",primes[i]);
             fprintf(fp,", ");
   }

   return 0;
 }

score 1 · Accepted Answer

// Title : Seive of Atkin ( Prime number Generator) 

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>

using namespace std;

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    long long int n;
    cout<<"Enter the value of n : ";
    cin>>n;
    vector<bool> is_prime(n+1);
    for(long long int i = 5; i <= n; i++)
    {
        is_prime[i] = false;
    }
    long long int lim = ceil(sqrt(n));

    for(long long int x = 1; x <= lim; x++)
    {
        for(long long int y = 1; y <= lim; y++)
        {
            long long int num = (4*x*x+y*y);
            if(num <= n && (num % 12 == 1 || num%12 == 5))
            {
                is_prime[num] = true;
            }

            num = (3*x*x + y*y);
            if(num <= n && (num % 12 == 7))
            {
                is_prime[num] = true;
            }

            if(x > y)
            {
                num = (3*x*x - y*y);
                if(num <= n && (num % 12 == 11))
                {
                    is_prime[num] = true;
                }
            }
        }
    }
    // Eliminating the composite by seiveing
    for(long long int i = 5; i <= lim; i++)
    {
        if(is_prime[i])
            for(long long int j = i*i; j <= n; j += i)
            {
                is_prime[j] = false;
            }
    }
    // Here we will start printing of prime number
   if(n > 2)
   {
       cout<<"2\t"<<"3\t";
   }
   for(long long int i = 5; i <= n; i++)
   {
         if(is_prime[i])
         {
             cout<<i<<"\t";
         }
    }
    cout<<"\n";
    return 0;
}

primes - 阿特金筛法的解释

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