我正在为 CNC 铣床实现驱动程序，但在实现 G 代码圆弧命令时遇到问题。
我发现了中点圆算法的几种实现，但它并不是真正可用的。
我发现中点圆算法的问题在于它是 2D 并且同时绘制所有八分圆，而我需要通过 3D 路径的连续步骤，由起点、终点和中心点给出。
我发现了一个很好的多维等价于 Bresenham使用浮点运算的线条绘制算法。绘制弧线可能存在类似的事情？
通过大量的思考和实验，我也许可以根据自己的意愿弯曲这个算法，但是由于绘制圆弧不是一个未解决的问题，而且之前已经制造了 CNC 机器，我想知道是否已经存在一个优雅的解决方案？
在LinuxCNC中，位置生成与步骤生成是分开的。在位置生成循环中，系统跟踪它已经沿着当前图元（直线或螺旋线）移动的距离，并使用一个简单的公式来获得沿该图元距离 D 的位置。（通常每毫秒执行一次）。根据您是否有舵机、硬件步骤生成或软件步骤生成，可以以不同的方式使用此位置。
在软件步骤生成系统中，沿每个轴确定旧指令位置和新指令位置之间的差异，这用于更新使用直接数字合成方法 (DDS) 的数字波形发生器的速率。然后，以更高的速率（通常每 20-50µs），DDS 确定每个轴是否应在此时生成一个步进。
这是一种与您描述的不同的设计，但它是一种更灵活的设计。例如，通过将位置生成与步骤生成分开，您可以在不修改步骤生成的情况下修改位置生成代码中的混合算法；并且您可以用硬件步进生成或伺服控制替换软件步进生成，或使用 PID 等算法。
在您的设计中，您可以通过简单地将螺旋弧切割成 Roland 所描述的线段，并将这些作为输入到您的仅理解线的步骤生成代码中，来近似我上面描述的方法。从某种意义上说，这与 LinuxCNC 所做的并没有太大的不同，只是曲线图元是根据距离而不是根据时间进行采样的。
在CNC上，通常不仅仅是 2D，因为还有速度、每个轴运动学不止一个执行器的工具角度等……为此，我通常使用带参数的参数三次方t=<0.0,1.0>。所以我将路径转换为一组三次曲线，这些三次曲线很容易在任何维度上进行评估。完成此步骤后，您将获得 3 种常用的光栅化方法：
恒dt步
参数三次通常是非线性的，因此为了移动到另一个像素（或其他），您需要以t小于分辨率的步长来增加参数，例如：
dt < 1.0 / curve_length
越少越好dt，你不会错过一个像素，但粗糙的会有更多的重复位置。
搜索dt下一步
使用二进制搜索，您可以找到下一个t，因此到当前位置的距离是单个像素。这更精确，但在某种程度上也更慢......
转换为线条
您可以将三次曲线采样成一组线条（多少取决于曲线的大小）并像往常一样使用 DDA 或 Bresenham 栅格化线条。这是最简单的，但结果不会完全是一条曲线。
立方是这样的：
P(t) = a0 + a1*t + a2*t^2 + a3*t^3
t = <0.0,1.0>
其中P(t)是位置，a0,a1,a2,a3是向量 m 中的系数，其中每个轴都有自己的标量系数。
请参阅如何生成多点线性插值？以及如何使用/计算它们的子链接。
无论如何，如果您坚持假设圆弧进行圆弧插值：
P(t) = ( Rotation_matrix(t) * (P0 - Pcenter) ) + Pcenter
t = <0.0,2*PI>
Where将您的Rotation_matrix点沿曲线方向旋转，并且是起点并且是圆弧的中心。(0,0,0,...,0)t [rad]P0Pcenter
在非轴对齐旋转的情况下，您可以使用Rodrigues_rotation_formula代替。
然而，使用齐次变换矩阵是 ND 中的最佳选择，您只需扩大矩阵大小：