math - GPS的欠定线性系统

Question

当我正在阅读Dan Kalman的论文An Underdetermined Linear System for GPS

并求解方程，这一切都很好，直到第 388 页，在页面下方，它是根据这个方程写的 $$0.02t2-1.88t+43.56=0$$ 这句话，

“导致两个解，43.1 和 50.0。如果我们选择第一个解，则 (x, y, z) = (1.317, 1.317, 0.790)，其长度约为 2。我们使用地球半径单位，所以这个点在地球表面上方大约 4000 英里处。t 的第二个值导致 (x, y, z) = (.667, .667, .332)，长度为 0.9997。这将点放在地球表面（精确到小数点后四位），并为我们提供了船的位置。”

我的问题是他如何得到 43.1 和 50.0 的值？每次我使用二次公式求解时，我得到的 41.4 和 52.5 是不同的

Answer 1

答案 43.1 和 50.0 是前面等式的正确答案：

(5.41 − .095t − 1)^2 + (5.41 − .095t − 2)^2 + (3.67 − .067t)^2
= .047^2(t − 19.9)^2

二次方程是这个方程的扩展。

正确的展开由下式给出：

43.67031391 - 1.8896618*x + 0.02033*x**2

仍然有相同的答案。

但是，文本中包含的扩展精度稍差（实际上是在扩展原始方程之前将 0.047 替换为 0.05 时给出的），这就是它具有不同解的原因。

我的猜测是作者以很高的精度解决了它，然后在写论文的时候觉得中间步骤是合理的，但在计算简化的二次方程时没有使用相同的精度。