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假设维度非常大（矩阵中最多有 10 亿个元素）。我将如何为矩阵向量积实现缓存遗忘算法？根据维基百科，我需要递归地分而治之，但是我觉得会有很多开销..这样做会有效吗？

跟进问答：带矩阵和向量的 OpenMP

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因此，“我如何使这个基本的线性代数运算快速”这个问题的答案总是无处不在，可以为您的平台找到并链接到经过调整的 BLAS 库。例如，GotoBLAS（其工作正在OpenBLAS中继续进行），或较慢的自动调谐ATLAS，或诸如英特尔的 MKL 之类的商业软件包。线性代数对于许多其他操作来说是如此的基础，以至于在针对各种平台优化这些包方面付出了巨大的努力，而且您不可能在几个下午的工作中提出可以与之竞争的东西。您正在寻找一般密集矩阵向量乘法的特定子程序调用是 SGEMV/DGEMV/CGEMV/ZGEMV。

缓存忽略算法或自动调整适用于当您不为调整系统的特定缓存架构而烦恼时 - 通常这可能很好，但由于人们愿意为 BLAS 例程这样做，然后制作可用的调整结果意味着您最好只使用这些例程。

GEMV 的内存访问模式非常简单，您不需要分而治之（对于矩阵转置的标准情况也是如此） - 您只需找到缓存块大小并使用它。在 GEMV (y = Ax) 中，您仍然必须扫描整个矩阵一次，因此无需为重用（以及有效的缓存使用）做任何事情，但您可以尝试尽可能多地重用 x，以便加载它一次而不是（行数）次-并且您仍然希望对 A 的访问是缓存友好的。所以明显的缓存阻塞要做的是打破块：

  A x -> [ A11 | A12 ] | x1 | = | A11 x1 + A12 x2 |
         [ A21 | A22 ] | x2 |   | A21 x1 + A22 x2 |

你当然可以递归地做到这一点。但是做一个简单的实现，它比简单的双循环慢，而且比正确的 SGEMV 库调用慢：

$ ./gemv
Testing for N=4096
Double Loop: time = 0.024995, error = 0.000000
Divide and conquer: time = 0.299945, error = 0.000000
SGEMV: time = 0.013998, error = 0.000000

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <sys/time.h>
#include "mkl.h"

float **alloc2d(int n, int m) {
    float *data = malloc(n*m*sizeof(float));
    float **array = malloc(n*sizeof(float *));
    for (int i=0; i<n; i++)
        array[i] = &(data[i*m]);
    return array;
}

void tick(struct timeval *t) {
    gettimeofday(t, NULL);
}

/* returns time in seconds from now to time described by t */
double tock(struct timeval *t) {
    struct timeval now;
    gettimeofday(&now, NULL);
    return (double)(now.tv_sec - t->tv_sec) + ((double)(now.tv_usec - t->tv_usec)/1000000.);
}

float checkans(float *y, int n) {
    float err = 0.;
    for (int i=0; i<n; i++)
        err += (y[i] - 1.*i)*(y[i] - 1.*i);
    return err;
}

/* assume square matrix */
void divConquerGEMV(float **a, float *x, float *y, int n,
                    int startr, int endr, int startc, int endc) {

    int nr = endr - startr + 1;
    int nc = endc - startc + 1;

    if (nr == 1 && nc == 1) {
        y[startc] += a[startr][startc] * x[startr];
    } else {
        int midr = (endr + startr+1)/2;
        int midc = (endc + startc+1)/2;
        divConquerGEMV(a, x, y, n, startr, midr-1, startc, midc-1);
        divConquerGEMV(a, x, y, n, midr,   endr,   startc, midc-1);
        divConquerGEMV(a, x, y, n, startr, midr-1, midc,   endc);
        divConquerGEMV(a, x, y, n, midr,   endr,   midc,   endc);
    }
}
int main(int argc, char **argv) {
    const int n=4096;
    float **a = alloc2d(n,n);
    float *x  = malloc(n*sizeof(float));
    float *y  = malloc(n*sizeof(float));
    struct timeval clock;
    double eltime;

    printf("Testing for N=%d\n", n);

    for (int i=0; i<n; i++) {
        x[i] = 1.*i;
        for (int j=0; j<n; j++)
            a[i][j] = 0.;
        a[i][i] = 1.;
    }

    /* naive double loop */
    tick(&clock);
    for (int i=0; i<n; i++) {
        y[i] = 0.;
        for (int j=0; j<n; j++) {
            y[i] += a[i][j]*x[j];
        }
    }
    eltime = tock(&clock);
    printf("Double Loop: time = %lf, error = %f\n", eltime, checkans(y,n));

    for (int i=0; i<n; i++) y[i] = 0.;

    /* naive divide and conquer */
    tick(&clock);
    divConquerGEMV(a, x, y, n, 0, n-1, 0, n-1);
    eltime = tock(&clock);
    printf("Divide and conquer: time = %lf, error = %f\n", eltime, checkans(y,n));

    /* decent GEMV implementation */
    tick(&clock);

    float alpha = 1.;
    float beta =  0.;
    int incrx=1;
    int incry=1;
    char trans='N';

    sgemv(&trans,&n,&n,&alpha,&(a[0][0]),&n,x,&incrx,&beta,y,&incry);
    eltime = tock(&clock);
    printf("SGEMV: time = %lf, error = %f\n", eltime, checkans(y,n));

    return 0;
}
于 2012-03-28T12:42:55.517 回答