geometry - 如何将点投影到球体上

Question

如果我有一个点 (x,y,z) 如何将其投影到球体 (x0,y0,z0,radius) 上（在其表面上）。我的输入将是点和球体的坐标。输出应该是球体上投影点的坐标。

只需从笛卡尔坐标转换为球坐标？

Answer 1

对于最简单的投影（沿着将点连接到球体中心的线）：

1. 将点写在以球心 (x0,y0,z0) 为中心的坐标系中：

   P = (x',y',z') = (x - x0, y - y0, z - z0)

2. 计算这个向量的长度：

   |P| = sqrt(x'^2 + y'^2 + z'^2)

3. 缩放向量，使其长度等于球体的半径：

   Q = (半径/|P|)*P

4. 并更改回原始坐标系以获取投影：

   R = Q + (x0,y0,z0)

Answer 2

基本上你想构建一条穿过球体中心和点的线。然后你将这条线与球体相交，你就有了你的投影点。

更详细地说：

让我们p成为点，s球体的中心和r半径，那么您正在寻找的点x = s + r*(p-s)/(norm(p-s))在哪里。x实施留给您。

我同意球坐标方法也可以，但计算要求更高。在上面的公式中，唯一不平凡的操作是范数的平方根。

Answer 3

如果您将球体中心的坐标设置为系统的原点 (x0, y0, z0)，它将起作用。因此，您将获得指向该原点的点的坐标（Xp'，Yp'，Zp'），并将坐标转换为极坐标，丢弃半径（球体中心与点之间的距离）和角度将定义投影。