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一直以来（特别是在 Netflix 比赛中），我总是遇到这个博客（或排行榜论坛），他们提到如何通过对数据应用简单的 SVD 步骤来帮助他们减少数据的稀疏性，或者总体上提高算法的性能手。我试图思考（很久以来），但我无法猜测为什么会这样。一般来说，我手头的数据非常嘈杂（这也是大数据的有趣部分），然后我知道一些基本的特征缩放的东西，比如对数转换的东西，平均归一化。但是像 SVD 这样的东西有什么帮助。所以假设我有一个巨大的用户评分电影矩阵......然后在这个矩阵中，我实现了一些版本的推荐系统（比如协同过滤）：

1) Without SVD
2) With SVD

它有什么帮助

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SVD不是用来对数据进行归一化，而是去除冗余数据，即降维。例如，如果您有两个变量，一个是湿度指数，另一个是下雨概率，那么它们的相关性非常高，以至于第二个变量对分类或回归任务没有任何有用的附加信息。SVD 中的特征值可帮助您确定哪些变量信息量最大，以及哪些变量可以不用。

它的工作方式很简单。您对训练数据（称为矩阵 A）执行 SVD，以获得 U、S 和 V*。然后将小于某个任意阈值（例如 0.1）的 S 的所有值设置为零，称为这个新矩阵 S'。然后获得 A' = US'V* 并使用 A' 作为新的训练数据。您的某些功能现在设置为零并且可以删除，有时不会有任何性能损失（取决于您的数据和选择的阈值）。这称为k截断 SVD。

但是，SVD 并不能帮助您解决稀疏性问题，仅在功能冗余时才可以帮助您。对于预测任务，两个特征既可以是稀疏的，也可以是信息丰富的（相关的），所以你不能删除任何一个。

使用 SVD，您可以从n 个特征变为k个特征，其中每个特征都是原始n. 这是一个降维步骤，就像特征选择一样。但是，当存在冗余特征时，特征选择算法可能会导致比 SVD 更好的分类性能，具体取决于您的数据集（例如，最大熵特征选择）。Weka有一堆。

请参阅：http ://en.wikibooks.org/wiki/Data_Mining_Algorithms_In_R/Dimensionality_Reduction/Singular_Value_Decomposition

https://stats.stackexchange.com/questions/33142/what-happens-when-you-apply-svd-to-a-collaborative-filtering-problem-what-is-th

于 2012-03-06T19:09:47.010 回答
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奇异值分解通常用于X通过低秩矩阵逼近矩阵X_lr：

  1. 计算 SVD X = U D V^T。
  2. D'通过保持k最大奇异值并将其他奇异值设置为零来形成矩阵。
  3. 形成矩阵X_lr。X_lr = U D' V^T

对于Frobenius 范数（相当于矩阵的-norm），矩阵是矩阵X_lrrank 的最佳近似值。使用这种表示在计算上是有效的，因为如果你的矩阵是和，你可以只用系数存储它的低秩近似（通过存储 和）。kXl2Xnnk << n(2n + 1)kUD'V

这通常用于矩阵完成问题（例如协同过滤），因为用户评分的真实矩阵被假定为低秩（或由低秩矩阵很好地近似）。因此，您希望通过计算数据矩阵的最佳低秩近似来恢复真实矩阵。然而，现在有更好的方法可以从嘈杂和缺失的观察中恢复低秩矩阵，即核范数最小化。例如，参见论文凸松弛的力量：E. Candes 和 T. Tao 的接近最优矩阵完成。

（注意：从这种技术派生的算法也存储估计矩阵的 SVD，但它的计算方式不同）。

于 2012-03-07T15:36:34.700 回答
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PCA 或 SVD，当用于降维时，会减少输入的数量。除了节省学习和/或预测的计算成本外，有时还可以生成更稳健的模型，这些模型在统计意义上不是最优的，但在嘈杂的条件下具有更好的性能。

在数学上，更简单的模型具有较小的方差，即它们不太容易过度拟合。当然，欠拟合也可能是一个问题。这被称为偏差方差困境。或者，正如爱因斯坦所说的那样：事情应该尽可能简单，但不能简单。

于 2016-12-16T12:05:26.133 回答