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我正在阅读一些关于计算机视觉的论文。这似乎是一个简单的事实，但我无法理解。它是关于用于平面投影变换的齐次 [3x3] 矩阵。并且据说有八种独立比例的矩阵元素。不知道比例是多少，独立的八个比例是多少？请帮我解决这个问题。

谢谢你。

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这意味着两个射影变换P 和kP是等价的。

考虑 2D 中的一个点：它可以用向量 以非齐次坐标表示[x,y]。以齐次坐标表示的同一点将[x',y',w]是

x = x' / w
y = y' / w

如您所见，w表现为比例因子。
将齐次坐标除以w得到[x'/w, y'/w, 1] = [x,y,1]。因此，一个二维点只有两个自由度。

您可以将相同的推理应用于 3x3 矩阵。在 9 个元素中，只有 8 个是独立的，而最后一个元素可以看作是比例因子。实际上，您选择九个中的哪一个并不重要。

更多信息：齐次坐标

编辑：自由度的数量是独立参数的数量。在二维点的示例中，即使我们有三个参数（x'、第三个简直了。y'ww1

对于 3D 点，其推理方式相同，但您必须考虑z轴：通用 3D 点是[x',y',z',w]（4 个参数），但是，如果我们除以w它，就会变成[x'/w, y'/w, z'/w, 1]三个独立的比率。

我总是除以，w因为比率x'/w, y'/w,z'/w具有特定含义（点的非齐次坐标），但要计算自由度，您可以使用任何其他参数。

让我们考虑一个 2x2 矩阵的示例（对于 3x3，它是相同的，只是输入时间更长）：

m11  m12
m21  m22

4个参数。除以您选择的其中一个（好吧，实际上是我的选择......），说它m12变成

m11      1
---    
m12

m21     m22
---     ---
m12     m12

3 个比率，因此三个自由度（对于通用 2x2 矩阵）。如果，例如，我们有m21 = m12我们会得到

m11      
---      1
m12

        m22
 1      ---
        m12

因此在这种情况下，我们将只有 2 个自由度！不要对看到m11,m22和m12（三个参数）这一事实感到困惑，因为实际上您可以考虑 a = m11/m12and b= m22/m12，因此它变成

a   1
1   b

这意味着两个独立的参数，因此两个自由度。

希望现在更清楚

于 2012-03-02T14:04:53.067 回答