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我一直在网上寻找我正在尝试编写有趣代码的物理引擎的集成方法（一定要喜欢那里的书呆子：P）。我找到了 Euler 的方法、RK4 和 Verlet（以及时间更正的版本）。我也一直在尝试想出一些我自己的方法。我想知道您是否知道其他任何您认为直观或有帮助的人。谢谢。

编辑：感谢您迄今为止的所有帮助。至于澄清：也许我的意思是数字积分。令人惊讶的是，在我所有的研究中，我没有找到我想要做的事情的技术名称！也许描述我的具体问题会使我的问题更清楚。假设我想模拟一个球在一个圆形（或一旦我实现 3d 的球形）引力场中移动。该球将遇到力矢量，该矢量可用于计算球在该特定刻度上所在点的相应加速度矢量。从你的物理课上，你知道速度 = 加速度 * 时间，但我的问题是球在技术上只是在那一刻，在微积分中用 dt 表示。明显地，

这是我实现欧拉数值积分方法的（成功）尝试：

    //For console output. Note: I know I could just put "using namespace std;" but I hate doing that.
    #include <iostream>
    using std::cout;
    using std::system;
    using std::endl;

    //Program entry
    int main (void)
    {
        //Variable decleration;
        double time = 0;
        double position = 0;
        double velocity = 0;
        double acceleration = 2;
        double dt = 0.000001; //Here is the "instantanious" change in time I was talking about.
        double count = 0; //I use count to make sure I am only displaying the data at whole numbers.

        //Each irritation of this loop is one tick
        while (true)
        {

            //This next bit is a simplified form of Euler's method. It is what I want to "upgrade"
            velocity += acceleration * dt;
            position += velocity * dt;

            if (count == 1/dt) //"count == 1/dt" will only return true if time is a whole number.
            {

                //Simple output to console
                cout << "Time: " << time << endl;
                cout << "Position: " << position << endl;
                cout << "------------------" << endl;
                system ("pause");

                count = 0; //To reset the counter.

            }

            //Update the counters "count" and "time"
            count++;
            time += dt;

        }
        return 1; //Program exit
    }

因为加速度是恒定的，而且这个微分实际上是可以解决的（为什么我用它来测试，解决方案是位置 = 时间 ^ 2，这是相当准确的，但是如果你让它变得更复杂一点，例如，使加速度随着时间的推移，算法会非常迅速地失去准确性。再次感谢！

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您有一个二阶微分方程 (ODE) x''=f(x,x',t)。x 可以是向量，x' 和 x'' 是关于时间的一阶和二阶导数。在您的情况下，x 是位置，x' 是速度，x'' 是加速度。通常通过引入 X=x,Y=x' 将这个二阶 ODE 转换为一阶 ODE，您会得到

X'=Y Y'=f(X,Y)

然后，您可以使用经典方案来求解像 Runge-Kutta、Dormand-Prince、Adams-Bashforth 等 ODE...

其中许多方法都是在odeint中实现的，非常易于使用。

于 2012-05-05T17:05:12.773 回答
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有许多不同的算法可用于对 ODE 进行数值积分。有关概述，请参阅此 Wikipedia 文章。哪种算法适合在很大程度上取决于您尝试求解的 ODE 的属性。Euler 方法很少表现良好，因为您通常需要非常小的步长来实现对解决方案的良好近似（但这很容易实现，因此可能适合第一次尝试）。有一些变体，比如后向 Euler 方法可以做得更好。

Runge-Kutta 方法是一大类方法，其中包括 Euler 方法。当您增加方法的阶数时，通常需要更少的时间步来达到相同的精度，但在每个时间步执行计算变得越来越昂贵 - RK4 经常使用，因为它倾向于取得良好的平衡。

在实践中，自适应步长技术通常用于控制时间步长以达到所需的精度。

ODE 求解器有许多现有的实现，人们已经投入了大量工作 - 虽然您有兴趣了解它们的工作原理是件好事，但这些求解器可能会变得非常复杂，所以如果您对如果您从自己的尝试中获得结果，那么查看现有例程（例如GNU 科学库中的例程）可能是一个更好的主意。

于 2012-02-23T18:41:14.457 回答