binary - 将非终止二进制数转换为十进制

Question

我不知道如何将非终止二进制数（分数）转换为十进制。任何人都可以指导我如何做一个例子吗？

Answer 1

Answer 2

如果您有一个以 2 为底的“重复小数”并且您知道它的重复部分是什么，则可以将其转换为p/q表示法中的精确有理数（其中p和q是整数）。

然后，您可以使用除法将该数字转换为普通十进制表示法，以达到您想要的任意位数的精度。（在某些情况下，您甚至可以写出精确的十进制值。）

第一步是将二进制数分为重复部分和非重复部分。

其实我们想要三样东西：

• 非重复部分，
• 重复数字块的第一次出现，以及
• 重复数字块的长度。

例如，假设数字是：

1.0001100110011... (binary)

最后一个 0011 无限重复。

我们可以将其分解如下：

• 非重复部分为 1.0（二进制）
• 重复块的第一次出现是 0.00011（二进制），并且
• 重复块 (0011) 的长度是四位二进制数字。

二进制数的重复部分是几何级数，可以使用此类级数的标准公式进行评估：

a + a*r + a*r^2 + a*r^3 + ... = a /(1 - r )。

将此公式应用于重复数字：

• a的值只是重复块第一次出现的值
• 如果重复部分有n个二进制数字，则公式中的比率r为1/2^ n和1 - r = (2^ n - 1)/(2^ n )。

对于示例 1.00011011011...（二进制），

• 从重复部分我们有a = 0.00011（二进制）= 3/32
• n = 4，所以 1 - r = (2^4 - 1)/(2^4) = 15/16。

所以

a /(1 - r ) = (3/32) / (15/16) = 3/30 = 1/10,

我们可以写成 0.1（十进制）。

不重复的部分，当然是 1（十进制），所以

1.00011011011...（二进制）= 1 + 0.1（十进制）= 1.1（十进制）。

在此示例中，十进制表示是终止且精确的。

有许多重复的二进制分数，其中没有精确的终止十进制表示，例如，

0.01010101...（二进制）= 1/3 = 0.3333...（十进制）。

在这种情况下，您必须决定在一定数量的小数位后四舍五入，或者找到并描述小数位的重复模式。