python - 如何使用 Python 求解一对非线性方程？

Question

使用 Python 求解一对非线性方程的（最佳）方法是什么。（Numpy、Scipy 或 Sympy）

例如：

• x+y^2 = 4
• e^x+ xy = 3

解决上述对的代码片段会很棒

Answer 1

对于数值解，您可以使用 fsolve：

http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.fsolve.html#scipy.optimize.fsolve

from scipy.optimize import fsolve
import math

def equations(p):
    x, y = p
    return (x+y**2-4, math.exp(x) + x*y - 3)

x, y =  fsolve(equations, (1, 1))

print equations((x, y))

Answer 2

如果您更喜欢 sympy ，可以使用nsolve。

>>> nsolve([x+y**2-4, exp(x)+x*y-3], [x, y], [1, 1])
[0.620344523485226]
[1.83838393066159]

第一个参数是方程列表，第二个是变量列表，第三个是初始猜测。

Answer 3

简短回答：使用 fsolve

正如其他答案中提到的，对您提出的特定问题的最简单解决方案是使用类似的东西fsolve：

from scipy.optimize import fsolve
from math import exp

def equations(vars):
    x, y = vars
    eq1 = x+y**2-4
    eq2 = exp(x) + x*y - 3
    return [eq1, eq2]

x, y =  fsolve(equations, (1, 1))

print(x, y)

输出：

0.6203445234801195 1.8383839306750887

解析解决方案？

你说如何“解决”，但有不同种类的解决方案。既然你提到了 SymPy，我应该指出这可能意味着分析和数值解决方案之间的最大区别。您给出的特定示例没有（简单的）解析解，但其他非线性方程组有。当有现成的分析解决方案时，SymPY 通常可以为您找到它们：

from sympy import *

x, y = symbols('x, y')
eq1 = Eq(x+y**2, 4)
eq2 = Eq(x**2 + y, 4)

sol = solve([eq1, eq2], [x, y])

输出：

⎡⎛ ⎛  5   √17⎞ ⎛3   √17⎞    √17   1⎞  ⎛ ⎛  5   √17⎞ ⎛3   √17⎞    1   √17⎞  ⎛ ⎛  3   √13⎞ ⎛√13   5⎞  1   √13⎞  ⎛ ⎛5   √13⎞ ⎛  √13   3⎞  1   √13⎞⎤
⎢⎜-⎜- ─ - ───⎟⋅⎜─ - ───⎟, - ─── - ─⎟, ⎜-⎜- ─ + ───⎟⋅⎜─ + ───⎟, - ─ + ───⎟, ⎜-⎜- ─ + ───⎟⋅⎜─── + ─⎟, ─ + ───⎟, ⎜-⎜─ - ───⎟⋅⎜- ─── - ─⎟, ─ - ───⎟⎥
⎣⎝ ⎝  2    2 ⎠ ⎝2    2 ⎠     2    2⎠  ⎝ ⎝  2    2 ⎠ ⎝2    2 ⎠    2    2 ⎠  ⎝ ⎝  2    2 ⎠ ⎝ 2    2⎠  2    2 ⎠  ⎝ ⎝2    2 ⎠ ⎝   2    2⎠  2    2 ⎠⎦

请注意，在此示例中，SymPy 会找到所有解决方案，并且不需要给出初始估计。

您可以使用以下数值对这些解决方案进行评估evalf：

soln = [tuple(v.evalf() for v in s) for s in sol]

[(-2.56155281280883, -2.56155281280883), (1.56155281280883, 1.56155281280883), (-1.30277563773199, 2.30277563773199), (2.30277563773199, -1.30277563773199)]

数值解的精度

然而，大多数非线性方程系统都没有合适的解析解，因此使用上面的 SymPy 是很好的，但它并不普遍适用。这就是为什么我们最终会寻找数字解决方案，即使有数字解决方案：1）我们不能保证我们找到了所有解决方案或当有很多解决方案时找到了“正确”的解决方案。2) 我们必须提供一个并不总是那么容易的初步猜测。

接受我们想要的数字解决方案后，fsolve通常可以满足您的所有需求。对于这类问题，SymPy 可能会慢得多，但它可以提供更精确地找到（数字）解决方案的其他东西：

from sympy import *

x, y = symbols('x, y')
nsolve([Eq(x+y**2, 4), Eq(exp(x)+x*y, 3)], [x, y], [1, 1])

⎡0.620344523485226⎤
⎢                 ⎥
⎣1.83838393066159 ⎦

更精确：

nsolve([Eq(x+y**2, 4), Eq(exp(x)+x*y, 3)], [x, y], [1, 1], prec=50)

⎡0.62034452348522585617392716579154399314071550594401⎤
⎢                                                    ⎥
⎣ 1.838383930661594459049793153371142549403114879699 ⎦

Answer 4

试试这个，我向你保证它会完美运行。

    import scipy.optimize as opt
    from numpy import exp
    import timeit

    st1 = timeit.default_timer()

    def f(variables) :
        (x,y) = variables

        first_eq = x + y**2 -4
        second_eq = exp(x) + x*y - 3
        return [first_eq, second_eq]

    solution = opt.fsolve(f, (0.1,1) )
    print(solution)


    st2 = timeit.default_timer()
    print("RUN TIME : {0}".format(st2-st1))

->

[ 0.62034452  1.83838393]
RUN TIME : 0.0009331008900937708

供参考。如上所述，您还可以通过将“fsolve”替换为“broyden1”来使用“Broyden 近似”。有用。我做到了。

我不知道 Broyden 的近似是如何工作的，但它花了 0.02 秒。

而且我建议你不要使用 Sympy 的功能 <- 确实很方便，但就速度而言，它很慢。你会看见。

Answer 5

我得到了 Broyden 的方法来处理 IDL 中的耦合非线性方程（通常涉及多项式和指数），但我没有在 Python 中尝试过：

http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.broyden1.html#scipy.optimize.broyden1

scipy.optimize.broyden1

scipy.optimize.broyden1(F, xin, iter=None, alpha=None, reduction_method='restart', max_rank=None, verbose=False, maxiter=None, f_tol=None, f_rtol=None, x_tol=None, x_rtol=None, tol_norm=None, line_search='armijo', callback=None, **kw)[source]

使用 Broyden 的第一个 Jacobian 近似求函数的根。

这种方法也被称为“Broyden 的好方法”。

Answer 6

一种替代方法fsolve是root：

import numpy as np
from scipy.optimize import root    

def your_funcs(X):

    x, y = X
    # all RHS have to be 0
    f = [x + y**2 - 4,
         np.exp(x) + x * y - 3]

    return f

sol = root(your_funcs, [1.0, 1.0])
print(sol.x)

这将打印

[0.62034452 1.83838393]

如果你然后检查

print(your_funcs(sol.x))

你得到

[4.4508396968012676e-11, -1.0512035686360832e-11]

确认解决方案是正确的。

Answer 7

您可以使用 openopt 包及其 NLP 方法。它有许多动态规划算法来求解非线性代数方程，包括：
goldenSection、scipy_fminbound、scipy_bfgs、scipy_cg、scipy_ncg、amsg2p、scipy_lbfgsb、scipy_tnc、bobyqa、ralg、ipopt、scipy_slsqp、scipy_cobyla、lincher、algencan。
后面的一些算法可以解决有约束的非线性规划问题。因此，您可以使用如下函数将您的方程组引入openopt.NLP()：

lambda x: x[0] + x[1]**2 - 4, np.exp(x[0]) + x[0]*x[1]

Answer 8

from scipy.optimize import fsolve

def double_solve(f1,f2,x0,y0):
    func = lambda x: [f1(x[0], x[1]), f2(x[0], x[1])]
    return fsolve(func,[x0,y0])

def n_solve(functions,variables):
    func = lambda x: [ f(*x) for f in functions]
    return fsolve(func, variables)

f1 = lambda x,y : x**2+y**2-1
f2 = lambda x,y : x-y

res = double_solve(f1,f2,1,0)
res = n_solve([f1,f2],[1.0,0.0])

Answer 9

可以使用nsolveof sympy，意思numerical solver。

示例片段：

from sympy import *

L = 4.11 * 10 ** 5
nu = 1
rho = 0.8175
mu = 2.88 * 10 ** -6
dP = 20000
eps = 4.6 * 10 ** -5

Re, D, f = symbols('Re, D, f')

nsolve((Eq(Re, rho * nu * D / mu),
       Eq(dP, f * L / D * rho * nu ** 2 / 2),
       Eq(1 / sqrt(f), -1.8 * log ( (eps / D / 3.) ** 1.11 + 6.9 / Re))),
      (Re, D, f), (1123, -1231, -1000))

哪里(1123, -1231, -1000)是找到根的初始向量。它给出了：

虚部非常小，都是 10^(-20)，所以我们可以认为它们为零，这意味着根都是实数。Re ~ 13602.938，D ~ 0.047922 和 f~0.0057。