recursion - 用 Mathematica 实现插值多项式算法

Question

我必须在 Mathematica 中实现这个算法：

我的问题是我不太了解 Mathematica 语法，因为那里没有很多有用的示例。我做了什么：

(* Input: 4 Points*)
Array[sx, 4, 0];
Array[sy, 4, 0];

sx[0] = -1; 
sy[0] = 0;

sx[1] = 0;
sy[1] = 2;

sx[2] = 1;
sy[2] = 4;

sx[3] = 3;
sy[3] = 32;


P[x,0]:=sy[0];

P[x, k_] := 
  P[x, k - 1] + (sy[k] - P[sx[k], k - 1])*
    Sum[(x - sx[j])/sx[k] - sx[j], {j, 0, x}]; 

（我试图实现几何平均值但我失败了，因为我什至无法计算总和。）

如何正确实现递归？（几何平均值）

Answer 1

顺便说一句，Mathematica 有一个内置函数InterpolatingPolynomial。假设pts是您要为其找到多项式的点列表，则p[x, k]可以写为

p[x_, k_] := InterpolatingPolynomial[pts[[;;k+1]] ,x]

对于原始帖子中的示例，您将得到

pts = {{-1, 0}, {0, 2}, {1, 4}, {3, 32}};

p[x, 0] // Simplify
p[x, 1] // Simplify
p[x, 2] // Simplify
p[x, 3] // Simplify

(* output
0
2 (1 + x)
2 (1 + x)
2 + x + x^3
*)

Answer 2

您可以像这样定义函数 P ：

P[x_, 0]  := sy[0] 
P[x_, k_] := P[x, k - 1] + (sy[k] - P[sx[k], k - 1])*
             Product[(x - sx[j])/(sx[k] - sx[j]), {j, 0, k - 1}] // Simplify

设置值sx，sy正如您在上面定义的那样，我们得到：

In[13]:= P[x, 1] 
Out[13]= 2 (1 + x)

In[14]:= P[x, 2]
Out[14]= 2 (1 + x)

In[15]:= P[x, 3]
Out[15]= 2 + x + x^3