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我正在寻找一种有效的算法来计算任何给定整数的乘法分区。例如，12 的此类分区数为 4，即

12 = 12 x 1 = 4 x 3 = 2 x 2 x 3 = 2 x 6

我已经为此阅读了维基百科文章，但这并没有真正为我提供生成分区的算法（它只讨论了此类分区的数量，老实说，即使这对我来说也不是很清楚！） .

我正在研究的问题需要我为非常大的数字（> 10 亿）计算乘法分区，所以我试图为它想出一种动态编程方法（以便为较小的数字找到所有可能的分区当较小的数字本身是较大数字的一个因素时重新使用），但到目前为止，我不知道从哪里开始！

任何想法/提示将不胜感激 - 这不是家庭作业问题，只是我试图解决的问题，因为它看起来很有趣！

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3 回答 3

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我要做的第一件事是对数字进行素数分解。

从那里，我可以对因子的每个子集进行排列，乘以该迭代中的剩余因子。

所以如果你取一个像 24 这样的数字，你会得到

2 * 2 * 2 * 3 // prime factorization
a   b   c   d
// round 1
2 * (2 * 2 * 3) a * bcd
2 * (2 * 2 * 3) b * acd (removed for being dup)
2 * (2 * 2 * 3) c * abd (removed for being dup)
3 * (2 * 2 * 2) d * abc

对所有“轮次”重复（轮次是第一个乘法中的因子数），当它们出现时删除重复项。

所以你最终会得到类似的东西

// assume we have the prime factorization 
// and a partition set to add to
for(int i = 1; i < factors.size; i++) {
    for(List<int> subset : factors.permutate(2)) {
        List<int> otherSubset = factors.copy().remove(subset);
        int subsetTotal = 1;
        for(int p : subset) subsetTotal *= p;
        int otherSubsetTotal = 1;
        for(int p : otherSubset) otherSubsetTotal *= p;
        // assume your partition excludes if it's a duplicate
        partition.add(new FactorSet(subsetTotal,otherSubsetTotal));
    }
}
于 2011-12-19T07:33:04.903 回答
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当然，首先要做的是找到数字的素因数分解，就像glowcoder说的那样。说

n = p^a * q^b * r^c * ...

然后

  1. 找到乘法分区m = n / p^a
  2. 对于0 <= k <= a，求 的乘法分区p^k，相当于求 的加法分区k
  3. 对于 的每个乘法分区m，找到所有不同的方式在a-k因子p之间分配因子
  4. 结合 2. 和 3. 的结果。

将乘法分区视为（除数，多重性）对的列表（或集合）以避免产生重复是很方便的。

我在 Haskell 中编写了代码，因为它是我所知道的用于此类事情的最方便和简洁的语言：

module MultiPart (multiplicativePartitions) where

import Data.List (sort)
import Math.NumberTheory.Primes (factorise)
import Control.Arrow (first)

multiplicativePartitions :: Integer -> [[Integer]]
multiplicativePartitions n
    | n < 1     = []
    | n == 1    = [[]]
    | otherwise = map ((>>= uncurry (flip replicate)) . sort) . pfPartitions $ factorise n

additivePartitions :: Int -> [[(Int,Int)]]
additivePartitions 0 = [[]]
additivePartitions n
    | n < 0     = []
    | otherwise = aParts n n
      where
        aParts :: Int -> Int -> [[(Int,Int)]]
        aParts 0 _ = [[]]
        aParts 1 m = [[(1,m)]]
        aParts k m = withK ++ aParts (k-1) m
          where
            withK = do
                let q = m `quot` k
                j <- [q,q-1 .. 1]
                [(k,j):prt | let r = m - j*k, prt <- aParts (min (k-1) r) r]

countedPartitions :: Int -> Int -> [[(Int,Int)]]
countedPartitions 0     count = [[(0,count)]]
countedPartitions quant count = cbParts quant quant count
  where
    prep _ 0 = id
    prep m j = ((m,j):)
    cbParts :: Int -> Int -> Int -> [[(Int,Int)]]
    cbParts q 0 c
        | q == 0    = if c == 0 then [[]] else [[(0,c)]]
        | otherwise = error "Oops"
    cbParts q 1 c
        | c < q     = []        -- should never happen
        | c == q    = [[(1,c)]]
        | otherwise = [[(1,q),(0,c-q)]]
    cbParts q m c = do
        let lo = max 0 $ q - c*(m-1)
            hi = q `quot` m
        j <- [lo .. hi]
        let r = q - j*m
            m' = min (m-1) r
        map (prep m j) $ cbParts r m' (c-j)

primePowerPartitions :: Integer -> Int -> [[(Integer,Int)]]
primePowerPartitions p e = map (map (first (p^))) $ additivePartitions e

distOne :: Integer -> Int -> Integer -> Int -> [[(Integer,Int)]]
distOne _ 0 d k = [[(d,k)]]
distOne p e d k = do
    cap <- countedPartitions e k
    return $ [(p^i*d,m) | (i,m) <- cap]

distribute :: Integer -> Int -> [(Integer,Int)] -> [[(Integer,Int)]]
distribute _ 0 xs = [xs]
distribute p e [(d,k)] = distOne p e d k
distribute p e ((d,k):dks) = do
    j <- [0 .. e]
    dps <- distOne p j d k
    ys <- distribute p (e-j) dks
    return $ dps ++ ys
distribute _ _ [] = []

pfPartitions :: [(Integer,Int)] -> [[(Integer,Int)]]
pfPartitions [] = [[]]
pfPartitions [(p,e)] = primePowerPartitions p e
pfPartitions ((p,e):pps) = do
    cop <- pfPartitions pps
    k <- [0 .. e]
    ppp <- primePowerPartitions p k
    mix <- distribute p (e-k) cop
    return (ppp ++ mix)

它不是特别优化，但它可以完成工作。

一些时间和结果：

Prelude MultiPart> length $ multiplicativePartitions $ 10^10
59521
(0.03 secs, 53535264 bytes)
Prelude MultiPart> length $ multiplicativePartitions $ 10^11
151958
(0.11 secs, 125850200 bytes)
Prelude MultiPart> length $ multiplicativePartitions $ 10^12
379693
(0.26 secs, 296844616 bytes)
Prelude MultiPart> length $ multiplicativePartitions $ product [2 .. 10]
70520
(0.07 secs, 72786128 bytes)
Prelude MultiPart> length $ multiplicativePartitions $ product [2 .. 11]
425240
(0.36 secs, 460094808 bytes)
Prelude MultiPart> length $ multiplicativePartitions $ product [2 .. 12]
2787810
(2.06 secs, 2572962320 bytes)

当然特别容易，10^k因为只涉及两个素数（但无平方数仍然更容易），阶乘更早变慢。我认为通过仔细组织顺序和选择比列表更好的数据结构，可以获得相当多的收益（可能应该按指数对主要因素进行排序，但我不知道是否应该从最高指数开始或最低的）。

于 2011-12-21T03:41:29.257 回答
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为什么不找到所有可以除数的数字，然后找到乘法加起来的数字的排列？

找到所有可以整除你的数字的数字需要 O(n)。

然后你可以排列这个集合来找到所有可能的集合，这个集合的乘法会给你这个数字。

一旦你找到了除以原始数字的所有可能数字的集合，那么你就可以对它们进行动态编程以找到将它们相乘的数字集合将给你原始数字。

于 2011-12-19T07:34:51.513 回答