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在一次编程比赛中，一个问题是：

计算方程的所有解：x + 4y + 4z = n。您将获得n并确定解决方案的数量。假设 x、y 和 z 是正整数。

我考虑过使用三重 for 循环（蛮力），但它效率低下，导致 TIME LIMIT EXCEED。（因为 n 可能 = 1000,000）：

int sol = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
 for (int j = 1; j <= n / 4; j++)
 {
  for (int k = 1; k <= n / 4; k++)
   {
      if (i + 4 * j + 4 * k == n)
         sol++;
   }
 }
}

我的朋友可以解决这个问题。当我问他时，他说他根本没有使用蛮力。相反，他将方程转换为“系列”（即顶峰）。我让他告诉我怎么做，但他拒绝了:)

我能知道怎么做吗？

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这是硬币找零问题的特例，一般通过动态规划来解决。

但在这里我们可以阐述简单的解决方案。我认为 x,y,z > 0

x + 4*(y+z)=n 设 y + z = q = p + 1 (q > 1, p > 0)

x+4*q=n

x+4*p=n-4

x 和 p有M = Floor((n-5)/4) 个变体，因此 q = 2..M+1 有 M 个可能值 对于每个 q>1，y 有 (q-1) 个变体和 z：q = 1 + (q-1) = 2 + (q-2) +..+(q-1)+1

所以我们有N =1 + 2 + 3 + ... + M = M * (M + 1)/2解

例子：

n = 15;

M = (15 - 5) 格 4 = 2

N = 3

(3,1,2),(3,2,1),(7,1,1)

于 2011-11-23T11:57:34.800 回答
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首先注意n-x必须能被 整除4。首先找到可以取的最小值x：

start = 4
while ((n - start) % 4 != 0)
{
    start = start + 1
}

从现在开始，您知道x它将从[start, start+4, start+8 ...]. 现在您可以通过一个简单的计数循环来计算解决方案的数量：

count = 0

for (x = start; x < n - 4; x = x + 4)
{
    y_z_sum = (n - x) / 4
    count = count + y_z_sum - 1
}

对于 的每个选择x，我们可以计算 的值y+z。对于 的每个值y+z，都有y+z-1可能的选择（因为y范围从 1 到y+z-1，假设y和z都是正整数）。

您可以通过这种方式实现 O(n)，而不是运行时间为 O(n 3 )的蛮力解决方案。

于 2011-11-23T11:31:08.967 回答
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这是一个经典的线性代数问题。请参阅任何线性代数教科书，了解如何求解线性方程组。一种这样的方法称为高斯消除法。

于 2011-11-23T08:47:40.057 回答