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我试图确定Runge-Kutta 方法（“RK4”）在常微分方程精确解的 0.01% 范围内需要多少步。我将此与欧拉方法进行比较。两者都应该在对数图上产生一条直线。我的欧拉解决方案似乎是正确的，但我得到了 RK 的弯曲解决方案。它们基于相同的代码，所以我对这个问题完全感到困惑。

编辑：很抱歉删除了维基百科链接。由于我是新用户，它不会让我保留多个链接。但是，这两种方法在维基百科上都有详细介绍，类似于我的实现。

如果有人希望解决我的问题，代码如下，图表位于dropbox.com 上的 Word 文件中。是的，这是一个家庭作业问题；我发布这个是因为我想了解我的思考过程中出了什么问题。

f = @(x,y) x+y; %this is the eqn (the part after the @(t,y)

这是我的 RK4 代码：

k1=@(x,y) h*f(x,y);
k2=@(x,y) h*f(x+1/2*h,y+1/2*k1(x,y));
k3=@(x,y) h*f(x+1/2*h,y+1/2*k2(x,y));
k4=@(x,y) h*f(x+h,y+k3(x,y));

clear y x exact i
x(1)=0;
y(1)=2;
xn=1;
x0=0;

exact=3*exp(xn)-xn-1; %exact solution at x=1
%# Evaluate RK4 with 1 step for x=0...1
N=1; %# number of steps
h=(xn-x0)/N; %# step size
i=1;
y(i+1)=y(i)+1/6*k1(x(i),y(i))+1/3*k2(x(i),y(i))+1/3*k3(x(i),y(i))+1/6*k4(x(i),y(i));
RK4(N)=y(i+1);  %# store result of RK4 in vector RK4(# of steps)
E_RK4(N)=-(RK4(N)-exact)/exact*100;%keep track of %error for each N
Nsteps_RK4(N)=N;


%# repeat for increasing N until error is less than 0.01%
while -(RK4(N)-exact)/exact > 0.0001
    i=1;
    N=N+1;
    h=(xn-x0)/N;
    for i=1:N
        y(i+1)=y(i)+1/6*k1(x(i),y(i))+1/3*k2(x(i),y(i))+1/3*k3(x(i),y(i))+1/6*k4(x(i),y(i));
        x(i+1)=x(i)+h;
    end
    RK4(N)=y(i+1);
    Nsteps_RK4(N)=N;
    E_RK4(N)=-(RK4(N)-exact)/exact*100; %# keep track of %error for each N
end

Nsteps_RK4(end);

这是我的欧拉代码： 

%# Evaluate Euler with 1 step for x=0...1
clear y x i
x(1)=0;
y(1)=2;
N=1; %# number of steps
h=(xn-x0)/N; %# step size
i=1;
y(i+1)= y(i)+h*f(x(i),y(i));
Euler(N)=y(i+1); %# store result of Euler in vector Euler(# of steps)
E_Euler(N)=-(Euler(N)-exact)/exact*100;%# keep track of %error for each N
Nsteps_Euler(N)=N;
%# repeat for increasing N until error is less than 0.01%
while -(Euler(N)-exact)/exact > 0.0001
    i=1;
    N=N+1;
    h=(xn-x0)/N;
    for i=1:N
        y(i+1)= y(i)+h*f(x(i),y(i));   
        x(i+1)=x(i)+h;
    end
    Euler(N)=y(i+1);
    Nsteps_Euler(N)=N;
    E_Euler(N)=-(Euler(N)-exact)/exact*100; %# keep track of %error for each N
end
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请参阅： http: //www.mathworks.com/help/techdoc/matlab_prog/f4-70115.html#f4-71621

在您构造使用它们的匿名函数时，表达式主体中指定的变量 [...] 必须具有分配给它们的值。在构造时，MATLAB 会捕获该函数主体中指定的每个变量的当前值。即使值应该在工作区中更改或超出范围，该函数仍将继续将此值与变量相关联。

即使您在循环中更改， hin k1...的值也保持不变。k4hwhile

一种解决方案是添加h到匿名函数：

k1=@(x,y,h) h*f(x,y);
于 2011-10-10T02:06:45.267 回答