cairo - 如何在不知道 4 个点的情况下绘制曲线？

Question

根据cairo 示例代码，以下代码

double x=25.6,  y=128.0;
double x1=102.4, y1=230.4,
       x2=153.6, y2=25.6,
       x3=230.4, y3=128.0;

cairo_move_to (cr, x, y);
cairo_curve_to (cr, x1, y1, x2, y2, x3, y3);

cairo_set_line_width (cr, 10.0);
cairo_stroke (cr);

cairo_set_source_rgba (cr, 1, 0.2, 0.2, 0.6);
cairo_set_line_width (cr, 6.0);
cairo_move_to (cr,x,y);   cairo_line_to (cr,x1,y1);
cairo_move_to (cr,x2,y2); cairo_line_to (cr,x3,y3);
cairo_stroke (cr);

可以生成曲线和两条粉色线。

但这需要 4 个点，(x,y), (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)

如果我只有 x,y 和 x3,y3（曲线的起点和终点），是否有任何数学公式可以在不知道 x1,y1 和 x2,y2 的情况下生成这些粉色线？

编辑：

对于我通过以下方式生成曲线的情况。

cairo_move_to (cr, x, y);
cairo_curve_to (cr, x, y3, x3, y, x3, y3);

Answer 1

把要点说清楚：

• 从您的两个已知点 (x ₁ ,y ₁ ) 和 (x ₃ ,y ₃ ) 开始：

• 加入两条线：

• 在P ₁和P ₃之间创建P ₂：

• 现在将P ₃顺时针旋转 90°：

• 对P ₄做同样的事情，在P ₁和P ₃之间创建它：

• 顺时针旋转P ₄ 90°：

• 现在你有了四个点，可以画出你的贝塞尔曲线：

---

中点可以计算为：

P_中= (x ₁ +x ₃ )/2 , (y ₁ +y ₃ )/2

double x1=25.6,  y1=128.0;
double x3=153.6, y3=25.6;

double xm = (x1+x3)/2;
double ym = (y1+y3)/2;

//rotate Pm by 90degrees around p1 to get p2
double x2 = -(ym-y1) + y1;
double y2 =  (xm-x1) + x1;

//rotate Pm by 90degrees around p3 to get p4
double x4 = -(ym-y3) + y3;
double y4 =  (xm-x3) + x3;

Answer 2

除非您提供某种可用于派生粉色线位置的约束，否则不会。两个端点本身只能定义一条直线段。

Answer 3

粉红色的线代表两个端点的离开向量。如果没有这些向量，两点之间的“曲线”只是一条直线（除非您有其他一些定义它的信息）。

如果您没有 (x1,y1) 和 (x2,y2)，您可以使用 (x3,y3) 作为 (x,y) 的粉红色线的端点，反之亦然。它们最终会出现在您的黑线上方，这是它们应该在直线上的位置。

如果曲线由函数定义，请在接近端点时计算导数并沿该角度绘制切线。