python - 如何在 Python 中计算 GF(2^8)？

Question

x=Symbol('x')

M=Matrix([[1,x],[x^2,x^3]])

s=M.det()

f=lambdify(x,s)

我需要知道 f(2)=? 在 GF(2^8) 中，计算规则服从 GF(2^8)

Answer 1

目前尚不清楚您要做什么，但这里有一些工具可以提供帮助。我创建了一个 Python 包galois，它在 Galois 字段上扩展了 NumPy 数组。支持所有有限域GF(p^m)。还支持线性代数和多项式等。

这是一个计算您提到的矩阵行列式和多项式评估的示例。

In [1]: import numpy as np

In [2]: import galois

# Create a Galois field class
In [3]: GF = galois.GF(2**8)

# The irreducible polynomial is the one you specified in your comment
In [4]: print(GF.properties)
GF(2^8):
  characteristic: 2
  degree: 8
  order: 256
  irreducible_poly: x^8 + x^4 + x^3 + x^2 + 1
  is_primitive_poly: True
  primitive_element: x

# Create an array from its polynomials over GF(2) with degree < 8
In [5]: M = GF([[1, "x"], ["x^2", "x^3"]]); M
Out[5]: 
GF([[1, 2],
    [4, 8]], order=2^8)

# Compute the determinant of the matrix
In [6]: np.linalg.det(M)
Out[6]: GF(0, order=2^8)

# Construct the polynomial x^2 + x as you mentioned in your comment
In [7]: f = galois.Poly([1, 1, 0], field=GF); f
Out[7]: Poly(x^2 + x, GF(2^8))

# Evaluate the polynomial at x = 2
In [8]: f(2)
Out[8]: GF(6, order=2^8)

Answer 2

在 GF(2^8) 中，元素通常表示为 7 次的形式多项式，它们是一元单项式的和。例如 x² + x，可以写成紧致形式 00000110（这不能当作普通的二进制数）。

在某个 x 处评估多项式是没有意义的，而且是不成立的，尤其是当 x 不应该是 0 或 1 时。（你可能想说 0²+0=0 和 1²+1=0，但这是无关紧要。）