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考虑这种类型：

newtype Ap f a = Ap (f a)
instance (Applicative f, Num a) => Num (Ap f a) where
  (+)         = liftA2 (+)
  (*)         = liftA2 (*)
  negate      = fmap negate
  fromInteger = pure . fromInteger
  abs         = fmap abs
  signum      = fmap signum

f该实例合法需要满足什么条件？显然，仅仅作为一个合法Applicative的是不够的（例如，与when isx + negate x不同，即使是一个合法的）。我的猜测是，成为一个可表示的函子既是必要的又是充分的。不过，我不确定如何证明这一点（或者如果它是错误的，则找到一个反例）。fromInteger 0xAp NothingMaybeApplicativef

为了参考起见，以下是文档建议的Num法律：

-- Associativity of (+)
(x + y) + z = x + (y + z)

-- Commutativity of (+)
x + y = y + x

-- fromInteger 0 is the additive identity
x + fromInteger 0 = x

-- negate gives the additive inverse
x + negate x = fromInteger 0

-- Associativity of (*)
(x * y) * z = x * (y * z)

-- fromInteger 1 is the multiplicative identity
x * fromInteger 1 = x
fromInteger 1 * x = x

-- Distributivity of (*) with respect to (+)
a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
(b + c) * a = (b * a) + (c * a)
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2 回答 2

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这种结构称为代数，它是一个带有乘积的向量空间。将向量空间实现为可表示的函子是一种众所周知的模式。这就是linear图书馆的全部基础。

代数是微不足道的ring（通过忘记标量），这是每个人都可以就Num该类实际描述的内容达成一致的唯一内容。从这个意义上说，是的，Representable这就是我们所需要的。具体来说，您正在利用的是用它们的基础扩展替换抽象向量，即您基本上将所有内容简化为

instance Num a => Num (r -> a) where
  fromInteger = const . fromInteger
  f + g = \e -> f e + g e
  f * g = \e -> f e * g e
  negate f = negate . f
  abs f = abs . f
  signum f = signum . f

然后可以与 一起使用r ~ Rep f，因为类型Rep f -> a与f a.

我个人不喜欢这些。特别是etc. 的Num实例V2在背后是一种痛苦，因为1 :: V2 Double ≡ V2 1 1如果您正在处理应该与旋转无关的图表，那么 eg 在几何上没有任何意义。看，任何有限维向量空间都可以用可表示的函子来实现，但这需要选择一个任意的基。但这有点像为文本编辑器选择任意字符编码，然后以在公共界面中完全公开的方式对其进行硬烘焙。这是糟糕的设计。仅仅因为你可以并不意味着你应该。

此外，许多实际有用的向量空间不能用可表示的仿函数来实现，或者这种实现可能非常不切实际。我在这里谈论的是稀疏向量，或高效的未装箱和/或分布式存储，或（个人最喜欢的）无限维函数空间。

因此，我建议将Num课程保留为明确的数字，并根据您的实际需要明确调用其他所有内容。我的free-vector-spaces和linearmap-category包试图以一种有原则且强大的方式来做到这一点，建立在vector-space中简单而安全的类的基础上。

于 2022-01-28T19:17:55.737 回答
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f该实例合法需要满足哪些条件？

为了勾勒一个论点，我们可以首先关注Ap f ()位于应用程序下的影响幺半群（如果你愿意的话）。为了保持左分布，我们需要影响幺半群是左自分布的（即u <> (v <> w) = (u <> v) <> (u <> w)），并且类似地对于右分布。此外，如果一个幺半群既是左自分配的又是右自分配的，则它必须既是可交换的又是幂等的。这已经是一个很大的限制，尽管还不足以排除Maybe（这是一个幂等的、可交换的应用程序）。既然如此，使用您的提示并查看加法逆定律是有意义的：

x + negate x = fromInteger 0
-- Substitute the instance implementations:
liftA2 (+) x (negate <$> x) = pure (fromInteger 0)
-- (&*&) = liftA2 (,)
(\(a, b) -> a + negate b) <$> (x &*& x) = pure (fromInteger 0)

特别是，(() <$)在两边使用给我们：

() <$ (x &*& x) = pure ()

回到影响幺半群的观点，这相当于u <> u = mempty. 由于我们之前已经确定效果幺半群必须是幂等的，u <> u = u. 因此，u = mempty; 也就是说，只有一种可能Ap f ()。

至于其他的规律，恒等律和结合律应该遵循应用律，而交换律的(+)大概需要f是可交换的应用律...

liftA2 g u v = liftA2 (flip g) v u

...这比仅要求Ap f ()我之前提到的可交换性要强一些（请参阅Select有关说明）。

因此，为了使Num (Ap f a)实例合法，我们似乎至少需要它f是一个可交换的应用程序，并且只有一个f ()值。虽然这个论点还不是完全无懈可击，但这些要求确实让人想起可表示的函子。

于 2022-01-29T11:31:48.893 回答