coq - 如何用给定的假设证明排除中间（forall PQ : Prop, (P -> Q) -> (~P \/ Q)）？

Question

我目前对如何证明以下定理感到困惑：

Theorem excluded_middle2 : 
 (forall P Q : Prop, (P -> Q) -> (~P \/ Q)) -> (forall P, P \/ ~P).

我被困在这里：

Theorem excluded_middle2 : 
  (forall P Q : Prop, (P -> Q) -> (~P \/ Q)) -> (forall P, P \/ ~P).
Proof.
  intros.
  evar (Q : Prop).
  specialize H with (P : Prop) (Q : Prop).

我知道不可能简单地证明 coq 中的排中律，但我真的很想知道用这个给定的定理是否可以证明排中律？

Answer 1

是的你可以。一种使用 ssreflect 的方法如下（可能有更短的方法）：

Lemma orC P Q : P \/ Q -> Q \/ P.
Proof. by case; [right | left]. Qed.

Theorem excluded_middle2 : 
 (forall P Q : Prop, (P -> Q) -> (~ P \/ Q)) -> (forall P, P \/ ~ P).
Proof.
move=> orasimply P.
have pp : P -> P by [].
move: (orasimply P P pp).
exact: orC.
Qed.