set - 集合属性：非自反性和传递性

Question

这不是家庭作业，但与我的家庭作业有直接关系。换句话说，我需要知道这些信息才能完成我的作业。

是R传递的：R = {(a,b),(b,a),(c,c)}? 我认为它也需要包括在内(a,a),(b,b)，但我不确定。

空集{}是非自反的吗？

这些是没有解释清楚的案例，我希望得到澄清。

Answer 1

例如，如果您在Wikipedia: Transitive relationship中查看，您就会有这个很好的量化表达式，如果您的关系是可传递的，则该表达式变为真的。

因为它是普遍量化的，所以它对空集是正确的（因为根据定义，关于空集的普遍量化表达式是正确的）。你是绝对正确的。如果 R 中有(a,b)and (b,a)，那么 R 也必须(a,a)是传递的。

非自反性也是普遍量化的（“它是集合上的二元关系，其中没有元素与自身相关。” =>∀x:~(xRx)或~∃x:xRx），因此它适用于空集。

Answer 2

传递定律，在数学和逻辑中，声明如果 A 与 B 具有某种关系并且 B 与 C 具有相同的关系，则 A 与 C 具有相同的关系。在算术中，相等的性质是传递的，因为如果 A = B 和 B = C，则 A = C。如果两个不等式具有相同的含义，则性质不等式：即如果 A 大于 B（即 A > B）且 B > C，则 A > C；如果 A 小于 B（即 A < B）且 B < C，则 A < C。不及物关系的示例是：如果 B 是 A 的女儿，C 是 B 的女儿，则 C不是A的女儿；和非及物关系：如果 A 爱 B，B 爱 C，那么 A 可能爱 C，也可能不爱 C。
反反身或反反身关系是反身关系的对立面。它是集合上的二元关系，其中没有元素与自身相关。一个例子是“大于”关系（x>y）。请注意，并非所有不是自反的关系都是反自反的。可以定义一些元素与自身相关但与其他元素不相关的关系。例如，二元关系“x 和 y 的乘积是偶数”在偶数集上是自反的，在奇数集上是自反的，在自然数集上也不是。