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tl；博士——scipy 的 convolve2d 实际上是如何进行卷积操作的？我找到了通往 Toeplitz 矩阵的方法，但我对如何实际创建 Toeplitz 矩阵感到困惑。

前几天我在阅读康威的[生命游戏]（https://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_Game_of_Life规则），我突然想到游戏中的所有约束都是线性约束，这意味着生命游戏应该符合线性程序形式，因为未来的棋盘状态必须遵循以下线性约束：

def life_step(game_board):
    board = np.copy(game_board)
    neighbor_sums = sp.signal.convolve2d(game_board, kernel, mode='same', boundary="wrap")

    # If fewer than 2 neighbors, cell is dead.
    board[neighbor_sums < 2] = 0
    # If 2 neighbors, cell stays in its state.
    # If 3 neighbors, cell becomes or stays active.
    board[neighbor_sums == 3] = 1
    # If >3 neighbors, cell dies
    board[neighbor_sums > 3] = 0    
    return board

游戏板是一个 NxM 矩阵。
计算游戏板中每个节点的邻居所需的内核是一个 3x3 矩阵。

因此我们可以将这个内核应用到游戏板上的每个位置，以计算每个节点的存活邻居的数量。然后我们可以对邻居计数应用约束，这将确定给定节点是打开还是关闭并生成下一个板状态。

但是，要使用凸求解器，例如 cvx，您不能传入 convolve2d 之类的函数，而是需要传入该函数对其自身进行编码的矩阵。

为了得到我们的线性算子，我们可以从一个简单的版本开始。我们可以手动提取 game_board 的正确组件（一个 nxm 矩阵）并将其与邻居内核相乘：https ://imgur.com/a/desSZAd 。但这似乎真的很脆弱，需要大量的手工计算。

所以，我想，如果我们把 game_board 展平呢？然后我们仍然需要将我们的内核应用到每个正确的权重上，但这应该有一些关于内核如何移动游戏板的结构。

https://imgur.com/a/oTHlxx1

第一个图像是扁平化。第二个图像是循环和堆叠内核向量以将卷积应用为一个 MM。第三个图像是移位内核与游戏板的乘积。

我又做了几个 Gamma 术语，显然有一些结构，但我没有看到如何以编程方式创建它。

所有这些都让我想到了 Toeplitz 矩阵，这似乎正是我正在寻找的。我正在应用此处找到的方法：https ://stackoverflow.com/a/51865516/8334507但是当我这样做时我没有得到wrap-ing 功能，它还将我的输出矩阵的维度扩展到(N+2)x(M+2)所以，一个 8x8 板变成 10x10。

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