像这样的东西?
ClearAll[u, v, f];
f[z_] := Sin[z]
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y];
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y];

编辑:这只是产生了整个事情。如果您只想查看平行于虚轴的单个路径会发生什么,请尝试
ParametricPlot[{u[5, y], v[5, y]}, {y, -3, 3}]
或者对于与实轴相同的平行线尝试
ParametricPlot[{u[x, 1], v[x, 1]}, {x, -3, 3}]
EDIT2:互动:
ClearAll[u, v, f];
f[z_] := Sin[z]
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y];
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y];
Manipulate[
Show[
Graphics[{Line[{p1, p2}]}, PlotRange \[Rule] 3, Axes \[Rule] True],
ParametricPlot[
{u[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]),
p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])],
v[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]),
p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])]},
{t, 0, 1},
PlotRange \[Rule] 3]],
{{p1, {0, 1}}, Locator},
{{p2, {1, 2}}, Locator}]
(丑陋,是的,但现在没有时间修复它)。典型输出:

或者

这个想法是,您可以改变您给出的图形左侧的线(通过单击绘图,相当于单击 Argand 图......)并查看相应的图像。