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我试图证明以下引理：

lemma myLemma6: "(∀x. A(x) ∧ B(x))= ((∀x. A(x)) ∧ (∀x. B(x)))"

我试图从消除 forall 量词开始，所以这就是我尝试过的：

lemma myLemma6: "(∀x. A(x) ∧ B(x))= ((∀x. A(x)) ∧ (∀x. B(x)))"
  apply(rule iffI)
  apply ( erule_tac x="x" in allE)
  apply (rule allE)
  (*goal now: get rid of conj on both sides and the quantifiers on right*)
  apply (erule conjE) (*isn't conjE supposed to be used with elim/erule?*)
  apply (rule allI)
  apply (assumption)
  
  
  apply ( rule conjI) (*at this point, the following starts to make no sense... *)
    
   apply (rule conjE) (*should be erule?*)
   apply ( rule conjI)
   apply ( rule conjI)

  ...

最后我刚刚开始根据之前申请的结果采取行动，但对我来说似乎是错误的，可能是因为一开始有一些错误......有人可以向我解释我的错误以及如何正确完成这个证明?

提前致谢

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在这个早期阶段消除全称量词并不是一个好主意，因为你甚至没有任何可以插入的值（x你给出的那个不在那个时候的范围内，这就是为什么它被打印出来Isabelle/jEdit 中的橙色背景）。

完成后，iffI您有两个目标：

goal (2 subgoals):
 1. ∀x. A x ∧ B x ⟹ (∀x. A x) ∧ (∀x. B x)
 2. (∀x. A x) ∧ (∀x. B x) ⟹ ∀x. A x ∧ B x

现在让我们关注第一个。您应该首先应用右侧的引入规则，即conjI和allI。这让你有了

goal (3 subgoals):
 1. ⋀x. ∀x. A x ∧ B x ⟹ A x
 2. ⋀x. ∀x. A x ∧ B x ⟹ B x
 3. (∀x. A x) ∧ (∀x. B x) ⟹ ∀x. A x ∧ B x

现在您可以应用allE实例化 withx并且第一个目标变为⋀x. A x ∧ B x ⟹ A x，然后您可以使用erule conjEand解决该问题assumption。第二个目标的作用类似。

对于最后一个目标，也是类似的：先应用引入规则，然后应用消除规则，然后assumption就完成了。

当然，Isabelle 的所有标准证明者（例如auto, force，blast甚至简单的证明者metis, meson）iprover都可以轻松自动解决这个问题，但这可能不是您想要的。

于 2021-01-15T17:10:55.903 回答