r - 确定等尾可信区间

Question

我已经获得了 d 部分的后验密度：$2 theta^{-1}(1-theta)^{-1}$。如何在 R 中绘制分布以找到 l 和 u 使得 $F_{theta| x} (l) = 0.025$ 和 $F_{theta| x} (u) = 0.975 美元？（等尾区间）

Answer 1

你的结果是错误的。根据贝叶斯定理，后验密度与p(theta)P(X=2|theta) = 1-theta成正比。所以我们认识到 Beta 分布Beta(1,2)。要在 R 中绘制它，您可以执行以下操作：

curve(dbeta(x, 1, 2), from = 0, to = 1)

现在，后验等尾可信区间由该分布的分位数给出。在 R 中：

qbeta(0.025, 1, 2) # lower bound
qbeta(0.975, 1, 2) # upper bound

如果你不知道 Beta 分布，你可以通过初等计算得到这些分位数。1-theta在[0,1]上的积分是1/2。所以后验密度是2(1-theta)（它必须积分为 1）。所以后验累积分布函数是2(theta - theta²/2) = -theta² + 2theta。要获得 p 分位数（p=0.025 和 p=0.975），您必须求解方程-theta² + 2theta = p in theta。这是一个二阶多项式方程，很容易求解。

Answer 2

找到中心 95% CI 实际上比找到 95% HPD 更容易。当您有密度 (PDF) 时，您也知道 CDF。中心 95% CI 的下限和上限由 CDF(l) = 0.025 和 CRF(u) = 0.975 给出。