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我正在对 Mathematica 如何列出插值进行逆向工程：

(* Fortunately, Mathematica WILL interpolate an arbitrary list *) 

tab = Table[a[i], {i,1,100}] 

f = Interpolation[tab] 

(* get the coefficient of each term by setting others to zero *) 

Plot[{f[42+x] /. {a[42] -> 0, a[43] ->0, a[44] -> 0, a[41] -> 1}}, 
 {x,0,1}] 

Plot[{f[42+x] /. {a[41] -> 0, a[43] ->0, a[44] -> 0, a[42] -> 1}}, 
 {x,0,1}] 

Plot[{f[42+x] /. {a[42] -> 0, a[41] ->0, a[44] -> 0, a[43] -> 1}}, 
 {x,0,1}] 

Plot[{f[42+x] /. {a[42] -> 0, a[43] ->0, a[41] -> 0, a[44] -> 1}}, 
 {x,0,1}] 

(* above is neither Hermite, nor linear, though some look close *) 

(* these are available at oneoff.barrycarter.info/STACK/ *) 

Table[f[42+x] /. {a[42] -> 0, a[43] ->0, a[44] -> 0, a[41] -> 1}, 
 {x,0,1, 1/100}] >> /home/barrycarter/BCINFO/ONEOFF/STACK/coeff41.txt 

Table[f[42+x] /. {a[41] -> 0, a[43] ->0, a[44] -> 0, a[42] -> 1}, 
 {x,0,1, 1/100}] >> /home/barrycarter/BCINFO/ONEOFF/STACK/coeff42.txt 

Table[f[42+x] /. {a[41] -> 0, a[42] ->0, a[44] -> 0, a[43] -> 1}, 
 {x,0,1, 1/100}] >> /home/barrycarter/BCINFO/ONEOFF/STACK/coeff43.txt 

Table[f[42+x] /. {a[41] -> 0, a[42] ->0, a[43] -> 0, a[44] -> 1}, 
 {x,0,1, 1/100}] >> /home/barrycarter/BCINFO/ONEOFF/STACK/coeff44.txt

编辑：谢谢，呜呜！那正是我想要的。作为参考，系数是（按顺序）：

(x-2)*(x-1)*x/-6
(x-2)*(x-1)*(x+1)/2
x*(x+1)*(x-2)/-2
(x-1)*x*(x+1)/6
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根据文档，插值器是分段多项式的。这有点模糊，所以这里有一些东西需要调查。

您可以通过实验确定插值器是数据的线性函数。所有可能数据的一个很好的基础由 {1,0,...,0}, {0,1,0,...,0}, ..., {0,..., 0,1}。为此，让我们构建一个小函数来生成这些长度为 $n$ 的向量：

test[n_, i_] := Module[{x = ConstantArray[0,n]},x[[i]] = 1; x]

您可以通过尝试一些类似这样的示例来确认线性度，系数 $a$ 和 $b$ 作用于长度为 $n 的 $i^\text{th}$ 和 $j^\text{th}$ 基向量$:

With[{a=1, b=2.5, n=5, i=2, j=3},
    Plot[{Interpolation[a test[n,i] + b test[n,j]][x], 
        a Interpolation[test[n,i]][x] + b Interpolation[test[n,j]][x]}, {x, 1, n}]
]

因为这两个功能是叠加的，所以只有一条曲线。

建立了线性后，分析内插器在 $n$ 基向量上的值就足够了。您可以通过微分确定多项式的次数。默认情况下，度数为 3，但您可以使用“InterpolatingOrder”参数对其进行修改。下面的代码将绘制一个明显的分段常数曲线表，该表是由用于对 1 到 ioMax 阶进行插值的插值器的导数产生的，使用长度为 $n$ 的数据的所有基向量：

With[{n=7, ioMax = 5},
    Table[
        Module[{fns},
            fns = Table[Interpolation[test[n,i], InterpolationOrder->io], {i,1,n}];
            Table[Plot[Evaluate@D[f[#], {#,io}]&[x], {x,1,n},
                PlotRange->Full, PlotStyle->Thick, ImageSize->150], {f, fns}]
        ], {io, 1, ioMax}
    ]
] // TableForm

输出显示中断发生在参数的整数值处，并且对于长度为 $n$ 的数据和度数为 $d$ 的插值器最多有 $nd$ 个不同的段。这些信息应该能让你大部分时间到达那里。

于 2011-05-25T17:58:21.823 回答