在我的程序最热门的部分(根据 gprof,90% 的时间),我需要将一个数组 A 与另一个 B 相加。两个数组的大小均为 2^n(n 为 18..24)并保存一个整数(为简单起见, 实际上存储的元素是 mpz_t 或小的 int 数组)。求和规则:对于 0..2^n-1 中的每一个 i , set B[i] = sum (A[j])
,其中j
是位向量,并且j & ~ i == 0
(换句话说,j
如果第 k 位的任何一个的第 k 位不能设置为 1i
不是 1)。
我当前的代码(这是最内层循环的主体)在 2^(1.5 * n) 个总和的时间内执行此操作,因为我将在 A 的(平均)2^(n/2) 个元素上迭代每个 i。
int A[1<<n]; // have some data
int B[1<<n]; // empty
for (int i = 0; i < (1<<n); i++ ) {
/* Iterate over subsets */
for (int j = i; ; j=(j-1) & i ) {
B[i] += A[j]; /* it is an `sum`, actually it can be a mpz_add here */
if(j==0) break;
}
}
我之前提到过,几乎所有的总和都是从前面求和的值中重新计算出来的。我建议,可以有代码,在n* 2^n
求和的时候做同样的任务。
我的第一个想法是B[i] = B[i_without_the_most_significant_bit] + A[j_new]
;其中 j_new 只是 j 在“1”状态下具有来自 i 的 most_significant 位。这将我的时间减半,但这还不够(实际问题规模仍然需要数小时和数天):
int A[1<<n];
int B[1<<n];
B[0] = A[0]; // the i==0 will not work with my idea and clz()
for (int i = 1; i < (1<<n); i++ ) {
int msb_of_i = 1<< ((sizeof(int)*8)-__builtin_clz(i)-1);
int i_wo_msb = i & ~ msb;
B[i] = B[i_wo_msb];
/* Iterate over subsets */
for (int j_new = i; ; j_new=(j_new-1) & i ) {
B[i] += A[j_new];
if(j_new==msb) break; // stop, when we will try to unset msb
}
}
你能推荐更好的算法吗?
附加图像,i 和 j 的列表为每个 i 求和,n=4:
i j`s summed
0 0
1 0 1
2 0 2
3 0 1 2 3
4 0 4
5 0 1 4 5
6 0 2 4 6
7 0 1 2 3 4 5 6 7
8 0 8
9 0 1 8 9
a 0 2 8 a
b 0 1 2 3 8 9 a b
c 0 4 8 c
d 0 1 4 5 8 9 c d
e 0 2 4 6 8 a c e
f 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
注意图形的相似性
PS msb 魔法来自这里:取消设置单词中的最高有效位 (int32) [C]