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我刚刚阅读了 Lean 的文档，并尝试执行3.7。练习，
还没有完成所有练习，但这里是前四个练习（没有经典推理）：

变量 pqr : 道具

-- ∧ 和 ∨<br> 的交换性 示例：p ∧ q ↔ q ∧ p := sorry
示例：p ∨ q ↔ q ∨ p := sorry

-- ∧ 和 ∨<br> 的结合性 示例：(p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r) := sorry
示例：(p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r) := sorry

这是我为前四个练习所做的：

variables p q r : Prop

-- commutativity of ∧ and ∨
example : p ∧ q ↔ q ∧ p := 
iff.intro
  (assume h : p ∧ q,
    show q ∧ p, from and.intro (and.right h) (and.left h))
  (assume h : q ∧ p,
    show p ∧ q, from and.intro (and.right h) (and.left h))

example : p ∨ q ↔ q ∨ p :=
iff.intro
  (assume h : p ∨ q,
  show q ∨ p, from 
  or.elim h
     (assume hp : p,
       show q ∨ p, from or.intro_right q hp)
     (assume hq : q,
       show q ∨ p, from or.intro_left p hq))
  (assume h : q ∨ p,
  show p ∨ q, from 
  or.elim h
     (assume hq : q,
       show p ∨ q, from or.intro_right p hq)
     (assume hp : p,
       show p ∨ q, from or.intro_left q hp))

-- associativity of ∧ and ∨
example : (p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r) := 
iff.intro
  (assume h: (p ∧ q) ∧ r,
    have hpq : p ∧ q, from and.elim_left h,
    have hqr : q ∧ r, from and.intro (and.right hpq) (and.right h),
    show p ∧ (q ∧ r), from and.intro (and.left hpq) (hqr))
  (assume h: p ∧ (q ∧ r),
    have hqr : q ∧ r, from and.elim_right h,
    have hpq : p ∧ q, from and.intro (and.left h) (and.left hqr),
    show (p ∧ q) ∧ r, from and.intro (hpq) (and.right hqr))

example : (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r) :=
iff.intro
  (assume hpqr : (p ∨ q) ∨ r, 
    show p ∨ (q ∨ r), from or.elim hpqr
      (assume hpq : p ∨ q,
        show p ∨ (q ∨ r), from or.elim hpq
          (assume hp : p,
            show p ∨ (q ∨ r), from or.intro_left (q ∨ r) hp)
          (assume hq : q,
            have hqr : q ∨ r, from or.intro_left r hq,
            show p ∨ (q ∨ r), from or.intro_right p hqr))
      (assume hr : r,
        have hqr : q ∨ r, from or.intro_right q hr,
        show p ∨ (q ∨ r), from or.intro_right p hqr))
  (assume hpqr : p ∨ (q ∨ r),
    show (p ∨ q) ∨ r, from or.elim hpqr
    (assume hp : p,
      have hpq : (p ∨ q), from or.intro_left q hp,
      show (p ∨ q) ∨ r, from or.intro_left r hpq)
    (assume hqr : (q ∨ r),
      show (p ∨ q) ∨ r, from or.elim hqr
        (assume hq : q,
          have hpq : (p ∨ q), from or.intro_right p hq,
          show (p ∨ q) ∨ r, from or.intro_left r hpq)
        (assume hr : r,
          show (p ∨ q) ∨ r, from or.intro_right (p ∨ q) hr)))

我认为这是有效的，但它很长，这是我们能做的最好的，还是有更好的方法来用精益编写这些证明，任何建议都将不胜感激。

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2 回答 2

2

如果您导入 Lean 的数学库，那么该策略by tauto!应该可以解决所有这些问题。此外，这些都是库定理，名称如and_comm.

我认为从第一原理出发，这些陈述没有任何更短的证明。缩短一些证明的唯一方法是删除haves 和shows 并降低它们的可读性。这是我对 的证明or_assoc，它与您的基本相同，但没有haves 和shows。

example : (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r) :=
iff.intro 
  (λ h, or.elim h (λ hpq, or.elim hpq or.inl (λ hq, or.inr (or.inl hq))) (λ hr, or.inr (or.inr hr)))
  (λ h, or.elim h (λ hp, (or.inl (or.inl hp))) (λ hqr, or.elim hqr (λ hq, or.inl (or.inr hq)) or.inr))
于 2019-12-24T07:34:28.410 回答
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只是另一个想法。对我（也是 LEAN 的初学者）来说，如果我将它们分解成更小的部分，则更容易阅读校样。下面的代码片段是通过几个步骤用策略编写的第二个交换性属性的证明。

--- 2) Prove p ∨ q ↔ q ∨ p
-- Easier if using these results first:
theorem LR2_11 : p → p ∨ q :=
begin
    intros hp,
    exact or.intro_left q hp
end
#check LR2_11 
theorem LR2_12 : p → q ∨ p :=
begin
    intros hp,
    exact or.intro_right q hp
end
#check LR2_12 
theorem LR2_2 : p ∨ q → q ∨ p :=
begin
    intros p_or_q, 
    exact or.elim p_or_q (LR2_12 p q) (LR2_11 q p)
end
theorem Comm2_2 : p ∨ q ↔ q ∨ p :=
begin
    exact iff.intro (LR2_2 p q) (LR2_2 q p)
end
#check Comm2_2
于 2020-01-20T19:12:39.737 回答