我用 C++ 编写了 Levenshtein 算法
如果我输入：
字符串 s：民主党
字符串 t：共和党
我得到了填充矩阵 D 并且可以在 D[10][8] = 8 中读取操作数（Levenshtein 距离）
超出填充矩阵我想构造最佳解决方案。必须如何看待这个解决方案？我没有主意。
请只写给我这个例子的外观。
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问题是
给定 Levenshtein 算法产生的矩阵，如何找到“最优解”？
即我们如何才能找到字符串操作的精确顺序：插入、删除和替换[单个字母]，这是将“字符串”转换为“t 字符串”所必需的？
首先，应该注意的是，在许多情况下有几个最优解。
虽然 Levenshtein 算法提供了最少数量的操作（在民主/共和党示例中为 8 个），但有许多序列（8 个操作）可以产生这种转换。
通过“解码” Levenshtein 矩阵，可以枚举所有此类最佳序列。
一般的想法是，最优解都遵循一条“路径”，从左上角到右下角（或在另一个方向），这条路径上的矩阵单元值要么保持不变，要么增加一（或减少反方向加一），从 0 开始，以所讨论字符串的最佳操作数结束（0 到 8 民主党/共和党案例）。当需要操作时，数字会增加，当字符串中相应位置的字母相同时，数字会保持不变。
很容易产生一种算法来产生这样的路径（产生所有可能的路径稍微复杂一些），并从这样的路径推导出操作的顺序。
这种寻路算法应该从右下角开始并向后工作。采用这种方法的原因是我们知道，要成为最佳解决方案，它必须在这个角落结束，并且要在这个角落结束，它必须来自紧邻其左侧、紧邻上方的 3 个单元之一它或立即对角线。通过在这三个单元中选择一个满足我们“相同值或减一”要求的单元，我们有效地选择了最优路径之一上的一个单元。通过重复操作直到我们到达左上角（或者实际上直到我们到达一个值为 0 的单元格），我们有效地在最优路径上回溯我们的方式。
与民主党的插图-共和党的例子
还应该注意的是，可以通过以下两种方式之一构建矩阵：水平或垂直使用“民主”。这不会改变 Levenshtein 距离的计算，也不会改变所需的操作列表；它只会改变我们解释矩阵的方式，例如在“路径”上水平移动意味着插入一个字符 [从 t 字符串] 或删除一个字符 [从 s 字符串]，具体取决于“字符串 s”是否为“水平”或矩阵中的“垂直”。
我将使用以下矩阵。因此，约定是（仅在从左到右和/或从上到下的方向）
- 水平移动是从“t 字符串”插入一个字母
- 垂直移动是从“字符串”中删除一个字母
- 对角线移动是：
- 一个无操作（两个字母在各自的位置是相同的）；数字不变
- a替代 （各个位置的字母不同）；数量增加一。
- 一个无操作（两个字母在各自的位置是相同的）；数字不变
s = "democrat", t="republican" 的 Levenshtein 矩阵
r e p u b l i c a n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
m 3 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9
o 4 4 3 3 3 4 5 6 7 8 9
c 5 5 4 4 4 4 5 6 6 7 8
r 6 5 5 5 5 5 5 6 7 7 8
a 7 6 6 6 6 6 6 6 7 7 8
t 8 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8
下面粗略地描述了我用来在几个可能的最佳路径中选择一个路径的任意方法：
Starting at the bottom-rightmost cell, and working our way backward toward
the top left.
For each "backward" step, consider the 3 cells directly adjacent to the current
cell (in the left, top or left+top directions)
if the value in the diagonal cell (going up+left) is smaller or equal to the
values found in the other two cells
AND
if this is same or 1 minus the value of the current cell
then "take the diagonal cell"
if the value of the diagonal cell is one less than the current cell:
Add a SUBSTITUTION operation (from the letters corresponding to
the _current_ cell)
otherwise: do not add an operation this was a no-operation.
elseif the value in the cell to the left is smaller of equal to the value of
the of the cell above current cell
AND
if this value is same or 1 minus the value of the current cell
then "take the cell to left", and
add an INSERTION of the letter corresponding to the cell
else
take the cell above, add
Add a DELETION operation of the letter in 's string'
按照这个非正式的伪代码，我们得到以下信息：
从右下角的“n”、“t”单元格开始。
选择 [diagonal] "a", "a" 单元格作为下一个目标，因为它小于其他两个（并且满足相同或 -1 条件）。
请注意，新单元格比当前单元格少 1，
因此步骤 8 将“t”替换为“n”：democra N
继续使用“a”、“a”单元格，
选择 [diagonal] “c”、“r” 单元格作为下一个目标...
请注意，新单元格与当前单元格的值相同 ==>不需要操作。
继续使用“c”、“r”单元格，
选择 [diagonal]“i”、“c” 单元格作为下一个目标...
请注意，新单元格比当前单元格少一个，
因此步骤 7 替换为“r”带“c”：democ C an
继续使用“i”、“c”单元格，
选择 [对角线]“l”、“o”单元格作为下一个目标...
请注意，新单元格比当前单元格少一个，
因此步骤 6 替换为“c”与“我”：演示我可以
继续使用“l”、“o”单元格，
选择 [对角线]“b”、“m”单元格作为下一个目标...
请注意，新单元格比当前单元格小一，
因此步骤 5 替换为“o”带“l”：dem L ican
继续使用“b”、“m”单元格，
选择 [diagonal]“u”、“e” 单元格作为下一个目标...
请注意，新单元格比当前单元格小一，
因此步骤 4 替换为“m”带“b”：de B lican
继续“u”、“e”单元格，
注意“对角”单元格不符合条件，因为“左”单元格小于它。选择 [left] "p", "e" 单元格作为下一个目的地...
因此第 3 步是在 "e" 之后插入 "u"：de U blican
继续“p”，“e”单元格，
“对角线”单元格再次不符合条件选择[left]“e”，“e”单元格作为下一个目的地......
因此步骤2在之后插入“p” “e”：德公共
继续使用“e”、“e”单元格，
选择 [diagonal]“r”、“d” 单元格作为下一个目标...
请注意，新单元格与当前单元格的值相同 ==>不需要操作。
继续使用“r”、“d”单元格，
选择 [对角线]“开始”单元格作为下一个目标...
请注意，新单元格比当前单元格小一，
因此步骤 1 将“d”替换为“r” : 共和党_
您已经到达一个值为 0 的单元格：您的工作完成了！
于 2011-05-02T18:57:54.183 回答
2
从 python 中实现的矩阵推断移动的回溯算法：
def _backtrack_string(matrix, output_word):
'''
Iteratively backtrack DP matrix to get optimal set of moves
Inputs: DP matrix (list:list:int),
Input word (str),
Output word (str),
Start x position in DP matrix (int),
Start y position in DP matrix (int)
Output: Optimal path (list)
'''
i = len(matrix) - 1
j = len(matrix[0]) - 1
optimal_path = []
while i > 0 and j > 0:
diagonal = matrix[i-1][j-1]
vertical = matrix[i-1][j]
horizontal = matrix[i][j-1]
current = matrix[i][j]
if diagonal <= vertical and diagonal <= horizontal and (diagonal <= current):
i = i - 1
j = j - 1
if diagonal == current - 1:
optimal_path.append("Replace " + str(j) + ", " + str(output_word[j]) )
elif horizontal <= vertical and horizontal <= current:
j = j - 1
optimal_path.append("Insert " + str(j) + ", " + str(output_word[j]))
elif vertical <= horizontal and vertical <= current:
i = i - 1
optimal_path.append("Delete " + str(i))
elif horizontal <= vertical and horizontal <= current:
j = j - 1
optimal_path.append("Insert " + str(j) + ", " + str(output_word[j]))
else:
i = i - 1
optimal_path.append("Delete " + str(i))
return reversed(optimal_path)
当我使用原始单词“OPERATING”和所需单词“CONSTANTINE”运行算法时得到的输出如下
Insert 0, C
Replace 2, N
Replace 3, S
Replace 4, T
Insert 6, N
Replace 10, E
"" C O N S T A N T I N E
"" [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]
<-- Insert 0, C
O [1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
\ Replace 2, N
P [2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
\ Replace 3, S
E [3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9]
\ Replace 4, T
R [4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] No move
\ <-- Insert 6, N
A [5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
\ No move
T [6, 6, 6, 6, 6, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8]
\ No move
I [7, 7, 7, 7, 7, 6, 6, 6, 6, 5, 6, 7]
\ No move
N [8, 8, 8, 7, 8, 7, 7, 6, 7, 6, 5, 6]
\ Replace 10, E
G [9, 9, 9, 8, 8, 8, 8, 7, 7, 7, 6, 6]
请注意，如果对角线中的元素与当前元素相同，我必须添加额外的条件。根据垂直（上）和水平（左）位置的值，可能存在删除或插入。当出现以下情况时，我们只会得到“无操作”或“替换”操作
# assume bottom right of a 2x2 matrix is the reference position
# and has value v
# the following is the situation where we get a replace operation
[v + 1 , v<]
[ v< , v]
# the following is the situation where we get a "no operation"
[v , v<]
[v<, v ]
我认为这是第一个答案中描述的算法可能会中断的地方。当两个操作都不正确时，上面的 2x2 矩阵中可能还有其他排列。除非考虑到这一点，否则输入“OPERATING”和输出“CONSTANTINE”的示例会破坏算法。
于 2020-01-28T16:00:52.060 回答
1
自从我玩过它已经有一段时间了，但在我看来，矩阵应该看起来像：
. . r e p u b l i c a n
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
m 3 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9
o 4 4 3 3 3 4 5 6 7 8 9
c 5 5 4 4 4 4 5 6 7 8 9
r 6 5 5 5 5 5 5 6 7 8 9
a 7 6 6 6 6 6 6 6 7 7 8
t 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8
不过，不要认为这是理所当然的。
于 2011-05-01T15:28:51.643 回答
1
这是一个基于 mjv 答案的 VBA 算法。（解释得很好，但缺少一些案例）。
Sub TU_Levenshtein()
Call Levenshtein("democrat", "republican")
Call Levenshtein("ooo", "u")
Call Levenshtein("ceci est un test", "ceci n'est pas un test")
End Sub
Sub Levenshtein(ByVal string1 As String, ByVal string2 As String)
' Fill Matrix Levenshtein (-> array 'Distance')
Dim i As Long, j As Long
Dim string1_length As Long
Dim string2_length As Long
Dim distance() As Long
string1_length = Len(string1)
string2_length = Len(string2)
ReDim distance(string1_length, string2_length)
For i = 0 To string1_length
distance(i, 0) = i
Next
For j = 0 To string2_length
distance(0, j) = j
Next
For i = 1 To string1_length
For j = 1 To string2_length
If Asc(Mid$(string1, i, 1)) = Asc(Mid$(string2, j, 1)) Then
distance(i, j) = distance(i - 1, j - 1)
Else
distance(i, j) = Application.WorksheetFunction.min _
(distance(i - 1, j) + 1, _
distance(i, j - 1) + 1, _
distance(i - 1, j - 1) + 1)
End If
Next
Next
LevenshteinDistance = distance(string1_length, string2_length) ' for information only
' Write Matrix on VBA sheets (only for visuation, not used in calculus)
Cells.Clear
For i = 1 To UBound(distance, 1)
Cells(i + 2, 1).Value = Mid(string1, i, 1)
Next i
For i = 1 To UBound(distance, 2)
Cells(1, i + 2).Value = Mid(string2, i, 1)
Next i
For i = 0 To UBound(distance, 1)
For j = 0 To UBound(distance, 2)
Cells(i + 2, j + 2) = distance(i, j)
Next j
Next i
' One solution
current_posx = UBound(distance, 1)
current_posy = UBound(distance, 2)
Do
cc = distance(current_posx, current_posy)
Cells(current_posx + 1, current_posy + 1).Interior.Color = vbYellow ' visualisation again
' Manage border case
If current_posy - 1 < 0 Then
MsgBox ("deletion. " & Mid(string1, current_posx, 1))
current_posx = current_posx - 1
current_posy = current_posy
GoTo suivant
End If
If current_posx - 1 < 0 Then
MsgBox ("insertion. " & Mid(string2, current_posy, 1))
current_posx = current_posx
current_posy = current_posy - 1
GoTo suivant
End If
' Middle cases
cc_L = distance(current_posx, current_posy - 1)
cc_U = distance(current_posx - 1, current_posy)
cc_D = distance(current_posx - 1, current_posy - 1)
If (cc_D <= cc_L And cc_D <= cc_U) And (cc_D = cc - 1 Or cc_D = cc) Then
If (cc_D = cc - 1) Then
MsgBox "substitution. " & Mid(string1, current_posx, 1) & " by " & Mid(string2, current_posy, 1)
current_posx = current_posx - 1
current_posy = current_posy - 1
GoTo suivant
Else
MsgBox "no operation"
current_posx = current_posx - 1
current_posy = current_posy - 1
GoTo suivant
End If
ElseIf cc_L <= cc_D And cc_L = cc - 1 Then
MsgBox ("insertion. " & Mid(string2, current_posy, 1))
current_posx = current_posx
current_posy = current_posy - 1
GoTo suivant
Else
MsgBox ("deletion." & Mid(string1, current_posy, 1))
current_posx = current_posx
current_posy = current_posy - 1
GoTo suivant
End If
suivant:
Loop While Not (current_posx = 0 And current_posy = 0)
End Sub
于 2016-05-18T12:09:53.857 回答
0
我最近对 Levenshtein 距离算法的矩阵做了一些工作。我需要生成将一个列表转换为另一个列表的操作。（这也适用于字符串。）
以下（誓言）测试是否显示了您正在寻找的那种功能？
, "lev - complex 2"
: { topic
: lev.diff([13, 6, 5, 1, 8, 9, 2, 15, 12, 7, 11], [9, 13, 6, 5, 1, 8, 2, 15, 12, 11])
, "check actions"
: function(topic) { assert.deepEqual(topic, [{ op: 'delete', pos: 9, val: 7 },
{ op: 'delete', pos: 5, val: 9 },
{ op: 'insert', pos: 0, val: 9 },
]); }
}
, "lev - complex 3"
: { topic
: lev.diff([9, 13, 6, 5, 1, 8, 2, 15, 12, 11], [13, 6, 5, 1, 8, 9, 2, 15, 12, 7, 11])
, "check actions"
: function(topic) { assert.deepEqual(topic, [{ op: 'delete', pos: 0, val: 9 },
{ op: 'insert', pos: 5, val: 9 },
{ op: 'insert', pos: 9, val: 7 }
]); }
}
, "lev - complex 4"
: { topic
: lev.diff([9, 13, 6, 5, 1, 8, 2, 15, 12, 11, 16], [13, 6, 5, 1, 8, 9, 2, 15, 12, 7, 11, 17])
, "check actions"
: function(topic) { assert.deepEqual(topic, [{ op: 'delete', pos: 0, val: 9 },
{ op: 'insert', pos: 5, val: 9 },
{ op: 'insert', pos: 9, val: 7 },
{ op: 'replace', pos: 11, val: 17 }
]); }
}
于 2011-06-21T18:52:36.733 回答
0
这是一些 Matlab 代码，您认为这是正确的吗？似乎给出了正确的结果:)
clear all
s = char('democrat');
t = char('republican');
% Edit Matrix
m=length(s);
n=length(t);
mat=zeros(m+1,n+1);
for i=1:1:m
mat(i+1,1)=i;
end
for j=1:1:n
mat(1,j+1)=j;
end
for i=1:m
for j=1:n
if (s(i) == t(j))
mat(i+1,j+1)=mat(i,j);
else
mat(i+1,j+1)=1+min(min(mat(i+1,j),mat(i,j+1)),mat(i,j));
end
end
end
% Edit Sequence
s = char('democrat');
t = char('republican');
i = m+1;
j = n+1;
display([s ' --> ' t])
while(i ~= 1 && j ~= 1)
temp = min(min(mat(i-1,j-1), mat(i,j-1)), mat(i-1,j));
if(mat(i-1,j) == temp)
i = i - 1;
t = [t(1:j-1) s(i) t(j:end)];
disp(strcat(['iinsertion: i=' int2str(i) ' , j=' int2str(j) ' ; ' s ' --> ' t]))
elseif(mat(i-1,j-1) == temp)
if(mat(i-1,j-1) == mat(i,j))
i = i - 1;
j = j - 1;
disp(strcat(['uunchanged: i=' int2str(i) ' , j=' int2str(j) ' ; ' s ' --> ' t]))
else
i = i - 1;
j = j - 1;
t(j) = s(i);
disp(strcat(['substition: i=' int2str(i) ' , j=' int2str(j) ' ; ' s ' --> ' t]))
end
elseif(mat(i,j-1) == temp)
j = j - 1;
t(j) = [];
disp(strcat(['dddeletion: i=' int2str(i) ' , j=' int2str(j) ' ; ' s ' --> ' t]))
end
end
于 2017-09-05T14:12:20.503 回答
0
JackIsJack 的 C# 实现有一些变化：
- 操作以“正向”顺序输出（JackIsJack 以相反顺序输出）；
- 原始答案中的最后一个“else”子句工作不正确（看起来像复制粘贴错误）。
控制台应用程序代码：
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
Levenshtein("1", "1234567890");
Levenshtein( "1234567890", "1");
Levenshtein("kitten", "mittens");
Levenshtein("mittens", "kitten");
Levenshtein("kitten", "sitting");
Levenshtein("sitting", "kitten");
Levenshtein("1234567890", "12356790");
Levenshtein("12356790", "1234567890");
Levenshtein("ceci est un test", "ceci n'est pas un test");
Levenshtein("ceci n'est pas un test", "ceci est un test");
}
static void Levenshtein(string string1, string string2)
{
Console.WriteLine("Levenstein '" + string1 + "' => '" + string2 + "'");
var string1_length = string1.Length;
var string2_length = string2.Length;
int[,] distance = new int[string1_length + 1, string2_length + 1];
for (int i = 0; i <= string1_length; i++)
{
distance[i, 0] = i;
}
for (int j = 0; j <= string2_length; j++)
{
distance[0, j] = j;
}
for (int i = 1; i <= string1_length; i++)
{
for (int j = 1; j <= string2_length; j++)
{
if (string1[i - 1] == string2[j - 1])
{
distance[i, j] = distance[i - 1, j - 1];
}
else
{
distance[i, j] = Math.Min(distance[i - 1, j] + 1, Math.Min(
distance[i, j - 1] + 1,
distance[i - 1, j - 1] + 1));
}
}
}
var LevenshteinDistance = distance[string1_length, string2_length];// for information only
Console.WriteLine($"Levernstein distance: {LevenshteinDistance}");
// List of operations
var current_posx = string1_length;
var current_posy = string2_length;
var stack = new Stack<string>(); // for outputting messages in forward direction
while (current_posx != 0 || current_posy != 0)
{
var cc = distance[current_posx, current_posy];
// edge cases
if (current_posy - 1 < 0)
{
stack.Push("Delete '" + string1[current_posx - 1] + "'");
current_posx--;
continue;
}
if (current_posx - 1 < 0)
{
stack.Push("Insert '" + string2[current_posy - 1] + "'");
current_posy--;
continue;
}
// Middle cases
var cc_L = distance[current_posx, current_posy - 1];
var cc_U = distance[current_posx - 1, current_posy];
var cc_D = distance[current_posx - 1, current_posy - 1];
if ((cc_D <= cc_L && cc_D <= cc_U) && (cc_D == cc - 1 || cc_D == cc))
{
if (cc_D == cc - 1)
{
stack.Push("Substitute '" + string1[current_posx - 1] + "' by '" + string2[current_posy - 1] + "'");
current_posx--;
current_posy--;
}
else
{
stack.Push("Keep '" + string1[current_posx - 1] + "'");
current_posx--;
current_posy--;
}
}
else if (cc_L <= cc_D && cc_L == cc - 1)
{
stack.Push("Insert '" + string2[current_posy - 1] + "'");
current_posy--;
}
else
{
stack.Push("Delete '" + string1[current_posx - 1]+"'");
current_posx--;
}
}
while(stack.Count > 0)
{
Console.WriteLine(stack.Pop());
}
}
}
于 2018-06-14T19:19:02.963 回答
0
根据编辑矩阵、源和目标获取所有编辑路径的代码。如果有任何错误，请发表评论。非常感谢！
import copy
from typing import List, Union
def edit_distance(source: Union[List[str], str],
target: Union[List[str], str],
return_distance: bool = False):
"""get the edit matrix
"""
edit_matrix = [[i + j for j in range(len(target) + 1)] for i in range(len(source) + 1)]
for i in range(1, len(source) + 1):
for j in range(1, len(target) + 1):
if source[i - 1] == target[j - 1]:
d = 0
else:
d = 1
edit_matrix[i][j] = min(edit_matrix[i - 1][j] + 1,
edit_matrix[i][j - 1] + 1,
edit_matrix[i - 1][j - 1] + d)
if return_distance:
return edit_matrix[len(source)][len(target)]
return edit_matrix
def get_edit_paths(matrix: List[List[int]],
source: Union[List[str], str],
target: Union[List[str], str]):
"""get all the valid edit paths
"""
all_paths = []
def _edit_path(i, j, optimal_path):
if i > 0 and j > 0:
diagonal = matrix[i - 1][j - 1] # the diagonal value
vertical = matrix[i - 1][j] # the above value
horizontal = matrix[i][j - 1] # the left value
current = matrix[i][j] # current value
# whether the source and target token are the same
flag = False
# compute the minimal value of the diagonal, vertical and horizontal
minimal = min(diagonal, min(vertical, horizontal))
# if the diagonal is the minimal
if diagonal == minimal:
new_i = i - 1
new_j = j - 1
path_ = copy.deepcopy(optimal_path)
# if the diagnoal value equals to current - 1
# it means `replace`` operation
if diagonal == current - 1:
path_.append(f"Replace | {new_j} | {target[new_j]}")
_edit_path(new_i, new_j, path_)
# if the diagonal value equals to current value
# and corresponding positional value of source and target equal
# it means this is current best path
elif source[new_i] == target[new_j]:
flag = True
# path_.append(f"Keep | {new_i}")
_edit_path(new_i, new_j, path_)
# if the position doesn't have best path
# we need to consider other situations
if not flag:
# if vertical value equals to minimal
# it means delete source corresponding value
if vertical == minimal:
new_i = i - 1
new_j = j
path_ = copy.deepcopy(optimal_path)
path_.append(f"Delete | {new_i}")
_edit_path(new_i, new_j, path_)
# if horizontal value equals to minimal
# if mean insert target corresponding value to source
if horizontal == minimal:
new_i = i
new_j = j - 1
path_ = copy.deepcopy(optimal_path)
path_.append(f"Insert | {new_j} | {target[new_j]}")
_edit_path(new_i, new_j, path_)
else:
all_paths.append(list(reversed(optimal_path)))
# get the rows and columns of the edit matrix
row_len = len(matrix) - 1
col_len = len(matrix[0]) - 1
_edit_path(row_len, col_len, optimal_path=[])
return all_paths
if __name__ == "__main__":
source = "BBDEF"
target = "ABCDF"
matrix = edit_distance(source, target)
print("print paths")
paths = get_edit_paths(matrix, source=list(source), target=list(target))
for path in paths:
print(path)
于 2021-11-26T04:44:33.600 回答