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Curry 悖论 （以与目前的编程语言相同的人命名）是一种可能在错误逻辑中的构造，它允许人们证明任何事情。

我对逻辑一无所知，但它有多难？

module Main where

import Data.Void
import Data.Function

data X = X (X -> Void)

x :: X
x = fix \(X f) -> X f

u :: Void
u = let (X f) = x in f x

main :: IO ()
main = u `seq` print "Done!"

它肯定会循环。（GHC怎么知道？！）

% ghc -XBlockArguments Z.hs && ./Z
[1 of 1] Compiling Main             ( Z.hs, Z.o )
Linking Z ...
Z: <<loop>>

 

  • 这是忠实的翻译吗？为什么？
  • 我可以在没有fix递归的情况下做同样的事情吗？为什么？
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1 回答 1

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库里悖论的编码看起来更像这样：

x :: X
x = X (\x'@(X f) -> f x')

X确实可以读作“如果X为真，则存在矛盾”，或者等效地，“X为假”。

但是fix用来证明X并没有真正的意义，因为fix作为推理原则是公然不正确的。库里的悖论更加微妙。

你如何实际证明X？

x :: X
x = _

X是一个条件命题，所以你可以先假设它的前提来证明它的结论。这个逻辑步骤对应于插入一个 lambda。（建设性地，蕴涵证明是从前提证明到结论证明的映射。）

x :: X
x = X (\x' -> _)

但是现在我们有了一个假设，我们可以再次x' :: X展开定义得到。在对 Curry 悖论的非正式描述中，没有明确的“展开步骤”，但在 Haskell 中，它对应于 newtype 构造函数 when是假设的模式匹配，或者应用构造函数 when是目标（事实上，正如我们上面所做的那样):Xf :: X -> VoidXX

x :: X
x = X (\x'@(X f) -> _)

最后，我们现在有了f :: X -> Voidand ，所以我们可以通过函数应用x' :: X来推断：Void

x :: X
x = X (\x'@(X f) -> f x')
于 2019-10-12T13:51:41.293 回答