haskell - 在范畴论中，两个空集可以相互同构吗？

Question

我是 Haskell 初学者，我想创建一个函数来确定两个列表之间是否存在同构。我认为如果它们的长度相同 > 0，答案是肯定的。

但是空集呢？空集之间可以存在同构吗？

谢谢。

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在 Haskell 中，我们通常将类型视为类别中的对象，而不是单个值。询问一个列表（一个值）是否与其他列表同构是没有意义的，除非我们定义一个列表是对象的“自定义”类别。在后一种情况下，答案取决于我们如何定义类别。

无论如何，在集合的范畴中，给定任何集合，从空集到A，只有一个函数（态射）。这是空域的唯一函数，恰好与空集重合。为了帮助理解这一点，回想一下函数是一组对f : {} -> A{}Af : X -> Y

f = {(x0,y0),(x1,y1),....}
  with x0,x1,... in X, and y0,y1,... in Y

这样

for any x in X there is a unique y in Y satisfying (x,y) in f

什么时候X = {}，我们不能选择x0,x1,... in X，所以唯一的选择是拥有f = {}，“空对集”。这f是一个函数，因为条件简化为

for any x in {} .......

这是一个空洞的真理，因为空集上的全称量化总是正确的。

因此，f : {} -> A任何A. 即使也是如此A = {}，在这种情况下f : {} -> {}也是同构。事实上，我们有f = id（因为没有其他函数！），并且f . f = f = id（因为没有其他函数！），所以f它自己的逆。

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当然，这取决于类别！

在标准类别 SET 中，对象是集合，箭头 A -> B 是将 B 的元素与 A 的每个元素相关联的函数，在表示空集的任何两个对象之间肯定存在同构——事实上，它们是同一个对象！

人们还可以想象一个类别，其中集合用额外的代数结构丰富（因此有一个从这个类别到 SET 的明智的健忘函子），其中额外的代数结构允许区分两个对象，尽管健忘函子将它们都映射到空集，在这种情况下，它们之间可能没有同构。

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