machine-learning - 我有两个计算“余弦相似度”的公式，有什么区别？

Question

我正在做一个关于电影数据集余弦相似度的项目，我对计算余弦相似度的公式感到困惑。

但是我在网上搜索，有些文章显示分母是这样的： sqrt(A1^2+B1^2) * sqrt(A2^2+B2^2) * ... * sqrt(Ai^2+Bi^2 )

我很困惑，有什么区别？哪一个是正确的，或者两者都是正确的？

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你图片上的那个是对的。在二维中，它源自余弦定律，该定律将三角形一侧的长度与其他两侧的长度以及与 c 的相对角θ 相关联：

c^2==a^2+b^2-2*b*c(cos(theta))

您可以通过多种方式证明这一点，一个好的验证是知道当cos(gamma)==0（a 和 b 边正交）时，您得到勾股定理。要获得图像上的公式，您必须将其转换为解析几何（向量）

norm(A-B)^2==norm(A)^2+norm(B)^2−2*norm(A)*norm(B)*cos(theta)

并且通过使用该 norm(AB)^2 定义为 (AB)*(AB) 并扩展我们得到

norm(A-B)^2 ==norm(A)^2+norm(B)^2-2*A*B

因此，将两个表达式等同并进行取消，会产生

norm(A)*norm(B)*cos(theta) = A*B

这是您的定义（和）的（重新排列的）公式norm(v) = sqrt(v*v)。对于 n 维，您可以证明这是有效的，因为旋转欧几里得空间保留了范数和内积，并且因为向量跨越的 2D 平面恰好只是 xy 平面的旋转。

一个好的完整性检查是，正交性产生的余弦为 0，并且余弦在 0 和 1 之间（这是柯西施瓦茨定理）

更新： 在您评论中提到的示例中，您可以通过运行查看博客中的结果

import sklearn.metrics.pairwise as pw
print(pw.cosine_similarity([[4,3]],[[5,5]]))
print(pw.cosine_similarity([[4,3,5]],[[5,5,1]]))

请注意，如果您运行：

from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances
print(pairwise_distances([[4,3,5]],[[5,5,1]],metric='cosine'))

你得到 0.208 而不是 0.792，这是因为使用余弦度量的 pairwise_distance 给出为1-cos(theta)（见0.208 + 0.7921）。您进行此转换是因为当您谈论距离时，您希望从一个点到它自身的距离为 0。

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