python - Python中高斯函数的傅里叶变换

Question

我想计算一些高斯函数的傅里叶变换。考虑简单的高斯 g(t) = e^{-t^2}。g(t) 的傅里叶变换有一个简单的解析表达式，因此第 0 个频率就是根 pi。

如果我尝试在 Python 中做同样的事情：

N = 1000
t = np.linspace(-1,1,N)
g = np.exp(-t**2)

h = np.fft.fft(g) #This is the Fourier transform of expression g

很简单。现在根据文档 h[0]应该包含零频率项，我们从解析表达式中知道它是根 pi。但相反，它给了746.444？！

为什么解析解和计算解之间存在差异？

Answer 1

不知道为什么你认为你应该得到分析表达式。NUMPy 中的 DFFT 显然是不对称的，如果您在这里查看 A _k 的公式，您可以清楚地看到对于 A ₀您应该得到输入的总和。此外，从 [-sigma...sigma] 区间获得高斯是不正确的。

这是修改示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 4001
t = np.linspace(-4.0, 4.0, N)
print((t[0], t[2000], t[4000]))
g = np.exp(-t*t)
print(np.sum(g)) # sum of input

h = np.fft.fft(g, norm=None)
print(h[0]) # should be the same as sum of input

它打印

(-4.0, 0.0, 4.0)
886.2269119018041
(886.226911901804+0j)

你可以做逆变换并绘制它

q = np.fft.ifft(h, norm=None)

plt.plot(t, g, label = "Gauss")
plt.show()
plt.plot(t, np.abs(q), label = "dFFT Gauss")
plt.show()
f = np.fft.fftfreq(N)
plt.plot(f, np.angle(h), f, np.abs(h))
plt.show()

并得到