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这是来自 Software Foundations 的 5 星练习。

Lemma pumping : forall T (re : @reg_exp T) s,
  s =~ re ->
  pumping_constant re <= length s ->
  exists s1 s2 s3,
    s = s1 ++ s2 ++ s3 /\
    s2 <> [] /\
    forall m, s1 ++ napp m s2 ++ s3 =~ re.
Proof.
  intros T re s Hmatch.
  induction Hmatch
    as [ | x | s1 re1 s2 re2 Hmatch1 IH1 Hmatch2 IH2
       | s1 re1 re2 Hmatch IH | re1 s2 re2 Hmatch IH
       | re | s1 s2 re Hmatch1 IH1 Hmatch2 IH2 ]; simpl; intros.
  - omega.
  - omega.
  -

1 subgoal
T : Type
s1 : list T
re1 : reg_exp
s2 : list T
re2 : reg_exp
Hmatch1 : s1 =~ re1
Hmatch2 : s2 =~ re2
IH1 : pumping_constant re1 <= length s1 ->
      exists s2 s3 s4 : list T,
        s1 = s2 ++ s3 ++ s4 /\
        s3 <> [ ] /\ (forall m : nat, s2 ++ napp m s3 ++ s4 =~ re1)
IH2 : pumping_constant re2 <= length s2 ->
      exists s1 s3 s4 : list T,
        s2 = s1 ++ s3 ++ s4 /\
        s3 <> [ ] /\ (forall m : nat, s1 ++ napp m s3 ++ s4 =~ re2)
H : pumping_constant re1 + pumping_constant re2 <= length (s1 ++ s2)
______________________________________(1/1)
exists s0 s3 s4 : list T,
  s1 ++ s2 = s0 ++ s3 ++ s4 /\
  s3 <> [ ] /\ (forall m : nat, s0 ++ napp m s3 ++ s4 =~ App re1 re2)

我花了太多时间试图拆分它H，却发现尽管为此做了一天半的工作，但我对不平等如何发挥作用的许多假设都被证明是错误的。昨晚我有一些很棒的想法，现在它们被丢弃了，这让我比以往任何时候都更加困惑这个问题。在过去的两天里，我似乎只是在忘记代数。

s如果答案是我需要在s 或length ss 或s上匹配，我会非常尴尬，pumping_constant re因为我找不到通过那里的方法。

这个问题的设置方式强烈建议H应该以某种方式拆分以便进行归纳。我仍然对此持怀疑态度。

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是的，您需要拆分H才能继续。

模糊提示：做Search (_ + _ <= _ + _).并寻找一个吸引你眼球的定理。

暗示：

Nat.add_le_cases: forall n m p q : nat, n + m <= p + q -> n <= p \/ m <= q

于 2019-05-06T23:04:02.790 回答