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问题陈述如下：

“给定一个具有字母集、公理、一组重写规则和一组与字母集双射的几何规则的 L 系统，我们如何找到等效的迭代函数系统 (IFS) 变换集（其中包括但不穷尽——平移、旋转和缩放）？”

粗略地说，L-System 是一个字符重写系统，您从一个初始字符串（公理）开始，然后根据重写规则继续更改字符。为了给它一个几何解释，您可以关联一个绘图元素并为您提供图表。

这是一个使用 Turtle 生成 Koch 曲线的 L 系统的 Python 实现。

import time
from turtle import *
from progress.bar import Bar


def Lrule(s):
    s2 = ''
    for i in range(len(s)):
        if s[i] == '>':
            s2 += '>+>-->+>' #rewriting rule
        else:
            s2 += s[i]
    return s2

def stringConstruct(n):
    axiom = '>' #initial string
    b = Bar('Creating string',fill = '=',max = n)
    for i in range(n):
        axiom = Lrule(axiom)
        b.next()
    return axiom

def drawit(distance,angle,n):
    s = stringConstruct(n)
    d = distance

    wn = Screen()
    t = Turtle()
    t.penup()
    t.back(700)
    t.right(90)
    t.forward(300)
    t.left(90)
    t.pendown()
    t.speed(0)

    for cmd in s:
        if cmd == '>':
            t.forward(d)
        elif cmd == '+':
            t.left(angle)
        elif cmd == '-':
            t.right(angle)
    wn.exitonclick()


if __name__ == '__main__':

    drawit(distance=5, angle=60, n=10)

IFS 是一组收缩映射或变换，它们将一个点带到另一个点并尝试逼近变换的吸引子集。

此处给出了生成科赫曲线的 IFS 的 python 实现。它使用枕头库表示为图片。

import random
from PIL import Image
from progress.bar import *
class snowflake(object):
    def __init__(self, img_width, img_height, paint_color=(19, 150, 100),
                 bg_color=(255, 255, 255)):
        self.img_width, self.img_height = img_width, img_height
        self.paint_color = paint_color
        self.x, self.y = 0, 0
        self.age = 0

        self.koch = Image.new('RGB', (img_width, img_height), bg_color)
        self.pix = self.koch.load()
        self.pix[self.scale(0, 0)] = paint_color


    def scale(self, x, y):
        h = (x)*(self.img_width-1)
        k = (0.7-y)*(self.img_height-1)
        return h, k

    def transform(self, x, y): #set of transformations
        rand = random.uniform(0, 100)#to make it more faster
        if rand < 25:
            return x/3, y/3
        elif 25 <= rand < 50:
            return (x-y*3**0.5+2)/6, (y+x*3**0.5)/6
        elif 50 <= rand < 75:
            return (x+y*3**0.5+3)/6, (y-x*3**0.5+3**0.5)/6
        else:
            return (x+2)/3, y/3

    def iterate(self, iterations):
        self.b = ChargingBar('Creating string',max = iterations, suffix='%(percent)d%%')
        for _ in range(iterations):
            self.b.next()
            self.x, self.y = self.transform(self.x, self.y)
            self.pix[self.scale(self.x, self.y)] = self.paint_color
        self.age += iterations

koch = snowflake(1080, 1080)
koch.iterate(200000)
koch.koch.show()

经过一周的研究，我们得出以下结论：

  • 给定一个具有一组绘制规则的 L 系统，这样的一组变换总是存在的。

但这除了证明存在之外对我们没有帮助。

我们在 python 中分别对 L-Systems 和 IFS 进行了编码以生成相同的分形，但两者之间的关系仍不清楚。

给定具有绘图规则的 L 系统，是否可以生成一种算法来了解（或生成）IFS？如果是，是否已经完成？它是什么？如果不是，为什么不可能？

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