boolean-logic - 我如何简化 f = x'yz + xy'z + xyz'？

Question

我正在努力简化表达式f = x'yz + xy'z + xyz' + xyz。其实，可能不是这个表情。问题是：简化投票系统的布尔表达式，系统是：三个人对多个候选人投票，两个或更多人应该同意（真）候选人才能通过。所以我认为答案是xy + yz + xz，但我无法弄清楚两者之间的过程。谁能解释一下？

Answer 1

根据幂等/恒等律，我们有x + x = x，等等xyz + xyz = xyz。应用这个原则，我们可以将你的表达式改写为：

 f = x'yz + xy'z + xyz' + xyz
=> f = x'yz + xy'z + xyz' + xyz + xyz + xyz --OR with xyz twice without affecting the value
=> f = x'yz + xyz + xy'z + xyz + xyz' + xyz --Rearrange
=> f = yz (x + x') + xz (y + y') + xy(z' + z) --Group
=> f = yz + xz + xy --Since x+x' = 1

也就是说，正如图表清楚地显示的那样，您可以简单地对每对输入进行“与”运算，然后将它们“或”在一起以获得相同的结果。通过这样做，您可以确保：

• 如果 3 个输入中的任何 2 个为真，则您的总体结果为真
• 当所有3个都为真时，结果仍然为真

用这种方式表达的好处是你可以一次只关注每一对输入，而不用担心第三个输入的影响。

Answer 2

不涉及逻辑推理的简单方法

写一个真值表。对于三个输入，有 2^3 = 8 行。

四行对应于积和表达式中的给定项。

将表达式的八个值输入到卡诺图中：

如图所示，将相邻的 1 项分组到块中。一对单元格可以合并成一个更大的块，如果它们只是在一个输入中不同。这样，在每个合并步骤中，块的单元数加倍，输入数减少一。

每个结果块对应于最小化表达式中的一个蕴涵项。

使用马尔堡大学的一个不错的在线工具可以自动绘制地图和查找块。